czy układ wektorów rozpina przestrzeń V

[kejkun7]

Czy układ wektorów \(\displaystyle{ \left\{\left(-5,0,4 \right) ; \ \left(0,5,1 \right) \right\}}\) rozpina przestrzeń \(\displaystyle{ V= lin \left\{\left(4,1,-2 \right); \left(3,2,-2 \right); \left(3,2,-1 \right); \left(1,4,0 \right) \right\}}\)

myśle, że po pierwsze trzeba sprawdzić czy te wektory należą do tej przestrzeni tj. czy można zapisać je jako kombinacje liniową tych wektorów:

\(\displaystyle{ \alpha_1 \cdot \left[ \begin{array}{} 4 \\ 1 \\ -2 \end{array} \right]}\) \(\displaystyle{ + \alpha_2 \cdot \left[ \begin{array}{} 3 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right]}\)\(\displaystyle{ + \alpha_3 \cdot \left[ \begin{array}{} 3 \\ 2 \\ -1 \end{array} \right]}\)\(\displaystyle{ + \alpha_4 \cdot \left[ \begin{array}{} 1 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right]}\)\(\displaystyle{ = \left[ \begin{array}{} -5 \\ 0 \\ 4 \end{array} \right]}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}4 \alpha_1 + 3 \alpha_2 + 3 \alpha_3 + \alpha_4 = -5 \\
\alpha_1 + 2 \alpha_2 + 2 \alpha_3 + 4 \alpha_4 = 0 \\
-2 \alpha_1 -2 \alpha_2 -1 \alpha_3 + 0 \alpha_4 = 4 \\
\end{cases}}\)


\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_1 -3 \alpha_2 -3 \alpha_3 -11 \alpha_4 = -5 \\
\alpha_1 + 2 \alpha_2 + 2 \alpha_3 + 4 \alpha_4 = 0 \\
-2 \alpha_1 -2 \alpha_2 -1 \alpha_3 + 0 \alpha_4 = 4 \\
\end{cases}}\)


\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_1 -3 \alpha_2 -3 \alpha_3 -11 \alpha_4 = -5 \\
0 \alpha_1 + 5 \alpha_2 + 5 \alpha_3 + 15 \alpha_4 = 0 \\
-2 \alpha_1 -2 \alpha_2 -1 \alpha_3 + 0 \alpha_4 = 4 \\
\end{cases}}\)


\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_1 -3 \alpha_2 -3 \alpha_3 -11 \alpha_4 = -5 \\
\alpha_2 + \alpha_3 + 3 \alpha_4 = 0 \\
-2 \alpha_1 -2 \alpha_2 -1 \alpha_3 + 0 \alpha_4 = 4 \\
\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_1 -3 \alpha_2 -3 \alpha_3 -11 \alpha_4 = -5 \\
0+ \alpha_2 + \alpha_3 + 3 \alpha_4 = 0 \\
0+ -8 \alpha_2 -7 \alpha_3 -11 \alpha_4 = -6 \\
\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_1 -3 \alpha_2 -3 \alpha_3 -11 \alpha_4 = -5 \\
0+ \alpha_2 + \alpha_3 + 3 \alpha_4 = 0 \\
0+ 0 \alpha_2 +1 \alpha_3 +15 \alpha_4 = -6 \\
\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_1 -3 \alpha_2 -3 \alpha_3 -11 \alpha_4 = -5 \\
0+ \alpha_2 + \alpha_3 + 3 \alpha_4 = 0 \\
\alpha_3 = -6 - 15\alpha_4 \\ \alpha_2 = t
\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_1 -3 t -3 \alpha_3 -11 \alpha_4 = -5 \\
t + -6 - 15\alpha_4 + 3 \alpha_4 = 0 \\
\alpha_3 = -6 - 15\alpha_4 \\ \alpha_2 = t
\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_1 -3 t -3 \alpha_3 -11 \alpha_4 = -5 \\
\alpha_4 = \frac{t-6}{12} \\
\alpha_3 = -6 - 15\alpha_4 \\ \alpha_2 = t
\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_1 = -5+3t + 3 \cdot (-6 - 15 \cdot \frac{t-6}{12}) + 11 \cdot ( \frac{t-6}{12}) \\
\alpha_4 = \frac{t-6}{12} \\
\alpha_3 = -6 - 15 \cdot \frac{t-6}{12} \\ \alpha_2 = t
\end{cases}}\)


no i w ten sposób wyliczyłem dla jednego wektora, co z tym dalej robię, i czy dobrze liczyłem?

[Kacperdev]

Można sprytniej. Jak popatrzymy na przestrzeń \(\displaystyle{ V}\) to widzimy, że rozpinają ją 4 wektory z \(\displaystyle{ \RR ^{3}}\). Stawiamy więc pytanie czy możemy się któregoś pozbyć tak aby pozostały układ wektorów stanowił bazę (układ niezależny liniowo i generujący przestrzeń) \(\displaystyle{ \RR ^{3}}\). Jeżeli tak to \(\displaystyle{ \left\{\left(-5,0,4 \right) ; \ \left(0,5,1 \right) \right\}}\) na pewno nie będzie mógł generować \(\displaystyle{ \RR ^{3}}\) bo jak wiadomo wymiar tej przestrzeni to 3.

Tak naprawdę wystarczy sprawdzić czy \(\displaystyle{ V}\) rozpina całe \(\displaystyle{ \RR ^{3}}\)

[kejkun7]

Stawiamy więc pytanie czy możemy się któregoś pozbyć tak aby pozostały układ wektorów stanowił bazę (układ niezależny liniowo i generujący przestrzeń) \(\displaystyle{ \RR ^{3}}\). Jeżeli

a jeżeli nie, to co wtedy??

Tak naprawdę wystarczy sprawdzić czy \(\displaystyle{ V}\) rozpina całe \(\displaystyle{ \RR ^{3}}\)

czemu tak?? skoro wyżej mamy warunek tak/nie? ?

[Kacperdev]

Chodzi po prostu o taktykę w podejsciu aby zrobić ale sie nie narobić . Sprawdzenie warunku który podałem nie jest czasochłonne i wiele wskazuje, że tak będzie wiec warto zacząć od czegoś takiego a nie babrać się w rachunkach.

Tak czy siak warto najpierw przeanalizować przestrzeń \(\displaystyle{ V}\) i możliwie ją uprościć. Coś na pewno z niej wyrzucimy bo mamy 4 wektory. Może wywalimy 2 wektory, no to wtedy też dużo łatwiej sprawdzać na dwóch niż na 4 liniową niezależność itd.

Jeżeli \(\displaystyle{ V}\) generuje \(\displaystyle{ \RR ^{3}}\) to nasze dwa wektory ze zbioru na pewno nie wygenerują przestrzeni trójwymiarowej. Dlatego.

[Marynarz94]

Te wektory, które generują \(\displaystyle{ V}\) na pewno nie są bazą, bo są liniowo zależne (a to znaczy że można przynajmniej jeden z nich odrzucić) - są to cztery wektory z przestrzeni trójwymiarowej \(\displaystyle{ \RR ^{3}}\), a w przestrzeni o wymiarze 3 co najwyżej trzy wektory mogą być liniowo niezależne.

Jaki wymiar ma \(\displaystyle{ V}\)? Potrafiłbyś to sprawdzić.

[kejkun7]

no dobra, a po czym widzisz, ile wektorów wyrzucić bez sprawdzania liniowej niezależności (bo tak Cię zrozumiałem?)
no bo ja myślę sobie, że skoro wektory \(\displaystyle{ \RR^3}\) to max. mogę jeden wyrzucić.(żeby były 3)
hm?
No Twój sposób rozwiązania jest o wiele lepszy

[Kacperdev]

Na pewno jeden można wyrzucić, bo wymiar tej przestrzeni to 3. Niekoniecznie tylko jeden bo może sie okazać, że przestrzeń \(\displaystyle{ V}\) generowana jest przez 4 wektory liniowo zależne!

Liniową zależność możesz szybko sprawdzić np. w macierzy próbując wyzerować możliwie najwięcej wierszy lub przedstawić jeden z wektorów jako kombinacja liniowa pozostałych, lub z definicji.

[kejkun7]

no dobra, ale jak zdecydujesz, które wektory wykreślić(wiadomo, że jeden)
przed sprawdzeniem liniowej niezależności?

Ja miałbym taki pomysł, aby sprawdzić te 4 wektory w macierzy, i czy któryś z nich jest kombinacja liniową pozostałych.

Czyli biorę te wektorki, i przyrównuje do \(\displaystyle{ 0}\) bodajże ? popraw mnie, jeśli źle myślę.

Wtedy na pewno wiem, które wektory wykreślić mogę.
gubię się trochę :x


V ma wymiar równy \(\displaystyle{ 3}\) tak?

[Kacperdev]

No kwestie które wektory można wykreślić wyjaśni właśnie sprawdzenie liniowej zależności/niezależności.

Jak pisałem - wrzuć do macierzy i na elementarnych operacjach na macierzy spróbuj wyzerować możliwie najwięcej wierszy.

V ma wymiar równy \(\displaystyle{ 3}\) tak?

Właśnie sprawdzenie liniowej niezależności (patrz up) wyjaśni tą kwestie. Na razie wiemy, że wymiar jest co najwyżej 3. Sprawdzenie liniowej niezależności wektrów z \(\displaystyle{ V}\) wyjaśni kwestie.

[kejkun7]

a takie pytanko jeszcze, bo my na zajęciach zawsze wrzucamy kolumnami, tj.
jak mam np. wektor: \(\displaystyle{ (-4,1,2)}\) to on tworzy jedną kolumnę, rozumiem, że Ty proponujesz go zapisać poziomo, czy jest jakaś różnica jeśli zapiszę te wektory poziomo/pionowo ??

[Kacperdev]

Nie ma różnicy. ; )

[Marynarz94]

Jest różnica!!! Jeśli wpiszesz kolumnami, to nie możesz wykonywać operacji wierszowych; jeśli wierszami, to kolumnowych.

[kejkun7]

a co jak wrzucę kolumnami, a wyzeruj wiersz ?
"jeśli wpiszesz kolumnami, to nie możesz wykonywać operacji wierszowych; jeśli wierszami, to kolumnowych."
hmm, serio? jak wpiszę kolumnami nie mogę odejmować wiersz od wiersza??
dziwne, bo w liniowej niezależnośći tak robiliśmy ?

[Kacperdev]

Jest różnica!!! Jeśli wpiszesz kolumnami, to nie możesz wykonywać operacji wierszowych; jeśli wierszami, to kolumnowych.

Nie ma to znaczenia.

[Marynarz94]

Sorry, mój błąd! rzeczywiście przy sprawdzaniu liniowej niezależności (czyli de facto obliczaniu rzędu macierzy) istotne to nie jest, a tutaj właśnie o to chodzi. Ale pewne znaczenie to jednak ma, bo gdy wstawimy wektory wierszowo i będziemy konsekwentnie używać operacji wierszowych, to w wierszach będą stały zawsze wektory z przestrzeni generowanej przez początkowe wiersze, a gdy będziemy stosować operacje dowolnie może być różnie...-- 1 kwi 2014, o 21:55 --Czasami aby uprościć sobie rachunki zastępuje się początkowe wiersze liniowo niezależne przez odpowiadające im wiersze wynikowe - a to można zrobić jedynie przy konsekwencji w ustawianiu i stosowaniu operacji