czy układ wektorów rozpina przestrzeń V
-
- Użytkownik
- Posty: 405
- Rejestracja: 24 lip 2012, o 23:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hmm ?
- Podziękował: 147 razy
- Pomógł: 2 razy
czy układ wektorów rozpina przestrzeń V
Czy układ wektorów \(\displaystyle{ \left\{\left(-5,0,4 \right) ; \ \left(0,5,1 \right) \right\}}\) rozpina przestrzeń \(\displaystyle{ V= lin \left\{\left(4,1,-2 \right); \left(3,2,-2 \right); \left(3,2,-1 \right); \left(1,4,0 \right) \right\}}\)
myśle, że po pierwsze trzeba sprawdzić czy te wektory należą do tej przestrzeni tj. czy można zapisać je jako kombinacje liniową tych wektorów:
\(\displaystyle{ \alpha_1 \cdot \left[ \begin{array}{} 4 \\ 1 \\ -2 \end{array} \right]}\) \(\displaystyle{ + \alpha_2 \cdot \left[ \begin{array}{} 3 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right]}\)\(\displaystyle{ + \alpha_3 \cdot \left[ \begin{array}{} 3 \\ 2 \\ -1 \end{array} \right]}\)\(\displaystyle{ + \alpha_4 \cdot \left[ \begin{array}{} 1 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right]}\)\(\displaystyle{ = \left[ \begin{array}{} -5 \\ 0 \\ 4 \end{array} \right]}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}4 \alpha_1 + 3 \alpha_2 + 3 \alpha_3 + \alpha_4 = -5 \\
\alpha_1 + 2 \alpha_2 + 2 \alpha_3 + 4 \alpha_4 = 0 \\
-2 \alpha_1 -2 \alpha_2 -1 \alpha_3 + 0 \alpha_4 = 4 \\
\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_1 -3 \alpha_2 -3 \alpha_3 -11 \alpha_4 = -5 \\
\alpha_1 + 2 \alpha_2 + 2 \alpha_3 + 4 \alpha_4 = 0 \\
-2 \alpha_1 -2 \alpha_2 -1 \alpha_3 + 0 \alpha_4 = 4 \\
\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_1 -3 \alpha_2 -3 \alpha_3 -11 \alpha_4 = -5 \\
0 \alpha_1 + 5 \alpha_2 + 5 \alpha_3 + 15 \alpha_4 = 0 \\
-2 \alpha_1 -2 \alpha_2 -1 \alpha_3 + 0 \alpha_4 = 4 \\
\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_1 -3 \alpha_2 -3 \alpha_3 -11 \alpha_4 = -5 \\
\alpha_2 + \alpha_3 + 3 \alpha_4 = 0 \\
-2 \alpha_1 -2 \alpha_2 -1 \alpha_3 + 0 \alpha_4 = 4 \\
\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_1 -3 \alpha_2 -3 \alpha_3 -11 \alpha_4 = -5 \\
0+ \alpha_2 + \alpha_3 + 3 \alpha_4 = 0 \\
0+ -8 \alpha_2 -7 \alpha_3 -11 \alpha_4 = -6 \\
\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_1 -3 \alpha_2 -3 \alpha_3 -11 \alpha_4 = -5 \\
0+ \alpha_2 + \alpha_3 + 3 \alpha_4 = 0 \\
0+ 0 \alpha_2 +1 \alpha_3 +15 \alpha_4 = -6 \\
\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_1 -3 \alpha_2 -3 \alpha_3 -11 \alpha_4 = -5 \\
0+ \alpha_2 + \alpha_3 + 3 \alpha_4 = 0 \\
\alpha_3 = -6 - 15\alpha_4 \\ \alpha_2 = t
\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_1 -3 t -3 \alpha_3 -11 \alpha_4 = -5 \\
t + -6 - 15\alpha_4 + 3 \alpha_4 = 0 \\
\alpha_3 = -6 - 15\alpha_4 \\ \alpha_2 = t
\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_1 -3 t -3 \alpha_3 -11 \alpha_4 = -5 \\
\alpha_4 = \frac{t-6}{12} \\
\alpha_3 = -6 - 15\alpha_4 \\ \alpha_2 = t
\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_1 = -5+3t + 3 \cdot (-6 - 15 \cdot \frac{t-6}{12}) + 11 \cdot ( \frac{t-6}{12}) \\
\alpha_4 = \frac{t-6}{12} \\
\alpha_3 = -6 - 15 \cdot \frac{t-6}{12} \\ \alpha_2 = t
\end{cases}}\)
no i w ten sposób wyliczyłem dla jednego wektora, co z tym dalej robię, i czy dobrze liczyłem?
myśle, że po pierwsze trzeba sprawdzić czy te wektory należą do tej przestrzeni tj. czy można zapisać je jako kombinacje liniową tych wektorów:
\(\displaystyle{ \alpha_1 \cdot \left[ \begin{array}{} 4 \\ 1 \\ -2 \end{array} \right]}\) \(\displaystyle{ + \alpha_2 \cdot \left[ \begin{array}{} 3 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right]}\)\(\displaystyle{ + \alpha_3 \cdot \left[ \begin{array}{} 3 \\ 2 \\ -1 \end{array} \right]}\)\(\displaystyle{ + \alpha_4 \cdot \left[ \begin{array}{} 1 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right]}\)\(\displaystyle{ = \left[ \begin{array}{} -5 \\ 0 \\ 4 \end{array} \right]}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}4 \alpha_1 + 3 \alpha_2 + 3 \alpha_3 + \alpha_4 = -5 \\
\alpha_1 + 2 \alpha_2 + 2 \alpha_3 + 4 \alpha_4 = 0 \\
-2 \alpha_1 -2 \alpha_2 -1 \alpha_3 + 0 \alpha_4 = 4 \\
\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_1 -3 \alpha_2 -3 \alpha_3 -11 \alpha_4 = -5 \\
\alpha_1 + 2 \alpha_2 + 2 \alpha_3 + 4 \alpha_4 = 0 \\
-2 \alpha_1 -2 \alpha_2 -1 \alpha_3 + 0 \alpha_4 = 4 \\
\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_1 -3 \alpha_2 -3 \alpha_3 -11 \alpha_4 = -5 \\
0 \alpha_1 + 5 \alpha_2 + 5 \alpha_3 + 15 \alpha_4 = 0 \\
-2 \alpha_1 -2 \alpha_2 -1 \alpha_3 + 0 \alpha_4 = 4 \\
\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_1 -3 \alpha_2 -3 \alpha_3 -11 \alpha_4 = -5 \\
\alpha_2 + \alpha_3 + 3 \alpha_4 = 0 \\
-2 \alpha_1 -2 \alpha_2 -1 \alpha_3 + 0 \alpha_4 = 4 \\
\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_1 -3 \alpha_2 -3 \alpha_3 -11 \alpha_4 = -5 \\
0+ \alpha_2 + \alpha_3 + 3 \alpha_4 = 0 \\
0+ -8 \alpha_2 -7 \alpha_3 -11 \alpha_4 = -6 \\
\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_1 -3 \alpha_2 -3 \alpha_3 -11 \alpha_4 = -5 \\
0+ \alpha_2 + \alpha_3 + 3 \alpha_4 = 0 \\
0+ 0 \alpha_2 +1 \alpha_3 +15 \alpha_4 = -6 \\
\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_1 -3 \alpha_2 -3 \alpha_3 -11 \alpha_4 = -5 \\
0+ \alpha_2 + \alpha_3 + 3 \alpha_4 = 0 \\
\alpha_3 = -6 - 15\alpha_4 \\ \alpha_2 = t
\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_1 -3 t -3 \alpha_3 -11 \alpha_4 = -5 \\
t + -6 - 15\alpha_4 + 3 \alpha_4 = 0 \\
\alpha_3 = -6 - 15\alpha_4 \\ \alpha_2 = t
\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_1 -3 t -3 \alpha_3 -11 \alpha_4 = -5 \\
\alpha_4 = \frac{t-6}{12} \\
\alpha_3 = -6 - 15\alpha_4 \\ \alpha_2 = t
\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_1 = -5+3t + 3 \cdot (-6 - 15 \cdot \frac{t-6}{12}) + 11 \cdot ( \frac{t-6}{12}) \\
\alpha_4 = \frac{t-6}{12} \\
\alpha_3 = -6 - 15 \cdot \frac{t-6}{12} \\ \alpha_2 = t
\end{cases}}\)
no i w ten sposób wyliczyłem dla jednego wektora, co z tym dalej robię, i czy dobrze liczyłem?
- Kacperdev
- Użytkownik
- Posty: 3260
- Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 686 razy
czy układ wektorów rozpina przestrzeń V
Można sprytniej. Jak popatrzymy na przestrzeń \(\displaystyle{ V}\) to widzimy, że rozpinają ją 4 wektory z \(\displaystyle{ \RR ^{3}}\). Stawiamy więc pytanie czy możemy się któregoś pozbyć tak aby pozostały układ wektorów stanowił bazę (układ niezależny liniowo i generujący przestrzeń) \(\displaystyle{ \RR ^{3}}\). Jeżeli tak to \(\displaystyle{ \left\{\left(-5,0,4 \right) ; \ \left(0,5,1 \right) \right\}}\) na pewno nie będzie mógł generować \(\displaystyle{ \RR ^{3}}\) bo jak wiadomo wymiar tej przestrzeni to 3.
Tak naprawdę wystarczy sprawdzić czy \(\displaystyle{ V}\) rozpina całe \(\displaystyle{ \RR ^{3}}\)
Tak naprawdę wystarczy sprawdzić czy \(\displaystyle{ V}\) rozpina całe \(\displaystyle{ \RR ^{3}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 405
- Rejestracja: 24 lip 2012, o 23:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hmm ?
- Podziękował: 147 razy
- Pomógł: 2 razy
czy układ wektorów rozpina przestrzeń V
a jeżeli nie, to co wtedy??Kacperdev pisze: Stawiamy więc pytanie czy możemy się któregoś pozbyć tak aby pozostały układ wektorów stanowił bazę (układ niezależny liniowo i generujący przestrzeń) \(\displaystyle{ \RR ^{3}}\). Jeżeli
czemu tak?? skoro wyżej mamy warunek tak/nie? ?Tak naprawdę wystarczy sprawdzić czy \(\displaystyle{ V}\) rozpina całe \(\displaystyle{ \RR ^{3}}\)
- Kacperdev
- Użytkownik
- Posty: 3260
- Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 686 razy
czy układ wektorów rozpina przestrzeń V
Chodzi po prostu o taktykę w podejsciu aby zrobić ale sie nie narobić . Sprawdzenie warunku który podałem nie jest czasochłonne i wiele wskazuje, że tak będzie wiec warto zacząć od czegoś takiego a nie babrać się w rachunkach.
Tak czy siak warto najpierw przeanalizować przestrzeń \(\displaystyle{ V}\) i możliwie ją uprościć. Coś na pewno z niej wyrzucimy bo mamy 4 wektory. Może wywalimy 2 wektory, no to wtedy też dużo łatwiej sprawdzać na dwóch niż na 4 liniową niezależność itd.
Jeżeli \(\displaystyle{ V}\) generuje \(\displaystyle{ \RR ^{3}}\) to nasze dwa wektory ze zbioru na pewno nie wygenerują przestrzeni trójwymiarowej. Dlatego.
Tak czy siak warto najpierw przeanalizować przestrzeń \(\displaystyle{ V}\) i możliwie ją uprościć. Coś na pewno z niej wyrzucimy bo mamy 4 wektory. Może wywalimy 2 wektory, no to wtedy też dużo łatwiej sprawdzać na dwóch niż na 4 liniową niezależność itd.
Jeżeli \(\displaystyle{ V}\) generuje \(\displaystyle{ \RR ^{3}}\) to nasze dwa wektory ze zbioru na pewno nie wygenerują przestrzeni trójwymiarowej. Dlatego.
-
- Użytkownik
- Posty: 76
- Rejestracja: 19 gru 2013, o 16:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 13 razy
- Pomógł: 6 razy
czy układ wektorów rozpina przestrzeń V
Te wektory, które generują \(\displaystyle{ V}\) na pewno nie są bazą, bo są liniowo zależne (a to znaczy że można przynajmniej jeden z nich odrzucić) - są to cztery wektory z przestrzeni trójwymiarowej \(\displaystyle{ \RR ^{3}}\), a w przestrzeni o wymiarze 3 co najwyżej trzy wektory mogą być liniowo niezależne.
Jaki wymiar ma \(\displaystyle{ V}\)? Potrafiłbyś to sprawdzić.
Jaki wymiar ma \(\displaystyle{ V}\)? Potrafiłbyś to sprawdzić.
-
- Użytkownik
- Posty: 405
- Rejestracja: 24 lip 2012, o 23:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hmm ?
- Podziękował: 147 razy
- Pomógł: 2 razy
czy układ wektorów rozpina przestrzeń V
no dobra, a po czym widzisz, ile wektorów wyrzucić bez sprawdzania liniowej niezależności (bo tak Cię zrozumiałem?)
no bo ja myślę sobie, że skoro wektory \(\displaystyle{ \RR^3}\) to max. mogę jeden wyrzucić.(żeby były 3)
hm?
No Twój sposób rozwiązania jest o wiele lepszy
no bo ja myślę sobie, że skoro wektory \(\displaystyle{ \RR^3}\) to max. mogę jeden wyrzucić.(żeby były 3)
hm?
No Twój sposób rozwiązania jest o wiele lepszy
- Kacperdev
- Użytkownik
- Posty: 3260
- Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 686 razy
czy układ wektorów rozpina przestrzeń V
Na pewno jeden można wyrzucić, bo wymiar tej przestrzeni to 3. Niekoniecznie tylko jeden bo może sie okazać, że przestrzeń \(\displaystyle{ V}\) generowana jest przez 4 wektory liniowo zależne!
Liniową zależność możesz szybko sprawdzić np. w macierzy próbując wyzerować możliwie najwięcej wierszy lub przedstawić jeden z wektorów jako kombinacja liniowa pozostałych, lub z definicji.
Liniową zależność możesz szybko sprawdzić np. w macierzy próbując wyzerować możliwie najwięcej wierszy lub przedstawić jeden z wektorów jako kombinacja liniowa pozostałych, lub z definicji.
-
- Użytkownik
- Posty: 405
- Rejestracja: 24 lip 2012, o 23:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hmm ?
- Podziękował: 147 razy
- Pomógł: 2 razy
czy układ wektorów rozpina przestrzeń V
no dobra, ale jak zdecydujesz, które wektory wykreślić(wiadomo, że jeden)
przed sprawdzeniem liniowej niezależności?
Ja miałbym taki pomysł, aby sprawdzić te 4 wektory w macierzy, i czy któryś z nich jest kombinacja liniową pozostałych.
Czyli biorę te wektorki, i przyrównuje do \(\displaystyle{ 0}\) bodajże ? popraw mnie, jeśli źle myślę.
Wtedy na pewno wiem, które wektory wykreślić mogę.
gubię się trochę :x
V ma wymiar równy \(\displaystyle{ 3}\) tak?
przed sprawdzeniem liniowej niezależności?
Ja miałbym taki pomysł, aby sprawdzić te 4 wektory w macierzy, i czy któryś z nich jest kombinacja liniową pozostałych.
Czyli biorę te wektorki, i przyrównuje do \(\displaystyle{ 0}\) bodajże ? popraw mnie, jeśli źle myślę.
Wtedy na pewno wiem, które wektory wykreślić mogę.
gubię się trochę :x
V ma wymiar równy \(\displaystyle{ 3}\) tak?
- Kacperdev
- Użytkownik
- Posty: 3260
- Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 686 razy
czy układ wektorów rozpina przestrzeń V
No kwestie które wektory można wykreślić wyjaśni właśnie sprawdzenie liniowej zależności/niezależności.
Jak pisałem - wrzuć do macierzy i na elementarnych operacjach na macierzy spróbuj wyzerować możliwie najwięcej wierszy.
Jak pisałem - wrzuć do macierzy i na elementarnych operacjach na macierzy spróbuj wyzerować możliwie najwięcej wierszy.
Właśnie sprawdzenie liniowej niezależności (patrz up) wyjaśni tą kwestie. Na razie wiemy, że wymiar jest co najwyżej 3. Sprawdzenie liniowej niezależności wektrów z \(\displaystyle{ V}\) wyjaśni kwestie.V ma wymiar równy \(\displaystyle{ 3}\) tak?
-
- Użytkownik
- Posty: 405
- Rejestracja: 24 lip 2012, o 23:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hmm ?
- Podziękował: 147 razy
- Pomógł: 2 razy
czy układ wektorów rozpina przestrzeń V
a takie pytanko jeszcze, bo my na zajęciach zawsze wrzucamy kolumnami, tj.
jak mam np. wektor: \(\displaystyle{ (-4,1,2)}\) to on tworzy jedną kolumnę, rozumiem, że Ty proponujesz go zapisać poziomo, czy jest jakaś różnica jeśli zapiszę te wektory poziomo/pionowo ??
jak mam np. wektor: \(\displaystyle{ (-4,1,2)}\) to on tworzy jedną kolumnę, rozumiem, że Ty proponujesz go zapisać poziomo, czy jest jakaś różnica jeśli zapiszę te wektory poziomo/pionowo ??
-
- Użytkownik
- Posty: 76
- Rejestracja: 19 gru 2013, o 16:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 13 razy
- Pomógł: 6 razy
czy układ wektorów rozpina przestrzeń V
Jest różnica!!! Jeśli wpiszesz kolumnami, to nie możesz wykonywać operacji wierszowych; jeśli wierszami, to kolumnowych.
-
- Użytkownik
- Posty: 405
- Rejestracja: 24 lip 2012, o 23:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hmm ?
- Podziękował: 147 razy
- Pomógł: 2 razy
czy układ wektorów rozpina przestrzeń V
a co jak wrzucę kolumnami, a wyzeruj wiersz ?
"jeśli wpiszesz kolumnami, to nie możesz wykonywać operacji wierszowych; jeśli wierszami, to kolumnowych."
hmm, serio? jak wpiszę kolumnami nie mogę odejmować wiersz od wiersza??
dziwne, bo w liniowej niezależnośći tak robiliśmy ?
"jeśli wpiszesz kolumnami, to nie możesz wykonywać operacji wierszowych; jeśli wierszami, to kolumnowych."
hmm, serio? jak wpiszę kolumnami nie mogę odejmować wiersz od wiersza??
dziwne, bo w liniowej niezależnośći tak robiliśmy ?
- Kacperdev
- Użytkownik
- Posty: 3260
- Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 686 razy
czy układ wektorów rozpina przestrzeń V
Nie ma to znaczenia.Marynarz94 pisze:Jest różnica!!! Jeśli wpiszesz kolumnami, to nie możesz wykonywać operacji wierszowych; jeśli wierszami, to kolumnowych.
-
- Użytkownik
- Posty: 76
- Rejestracja: 19 gru 2013, o 16:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 13 razy
- Pomógł: 6 razy
czy układ wektorów rozpina przestrzeń V
Sorry, mój błąd! rzeczywiście przy sprawdzaniu liniowej niezależności (czyli de facto obliczaniu rzędu macierzy) istotne to nie jest, a tutaj właśnie o to chodzi. Ale pewne znaczenie to jednak ma, bo gdy wstawimy wektory wierszowo i będziemy konsekwentnie używać operacji wierszowych, to w wierszach będą stały zawsze wektory z przestrzeni generowanej przez początkowe wiersze, a gdy będziemy stosować operacje dowolnie może być różnie...-- 1 kwi 2014, o 21:55 --Czasami aby uprościć sobie rachunki zastępuje się początkowe wiersze liniowo niezależne przez odpowiadające im wiersze wynikowe - a to można zrobić jedynie przy konsekwencji w ustawianiu i stosowaniu operacji