diagonalizacja macierzy

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Awatar użytkownika
waliant
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1801
Rejestracja: 9 gru 2010, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 275 razy
Pomógł: 183 razy

diagonalizacja macierzy

Post autor: waliant »

Mam zdiagonalizować taką macierz:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{array}\right]}\)

Wartości własne to \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -1}\).

Wektory własne:

dla \(\displaystyle{ 1}\):

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-1&0&1\\0&0&0\\1&0&-1\end{array}\right]}\) zatem przestrzeń rozpinająca to \(\displaystyle{ lin\left\{ \left( 1,0,1\right) \right\}}\)

dla \(\displaystyle{ -1}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&2&0\\1&0&1\end{array}\right]}\) zatem przestrzeń rozpinająca to \(\displaystyle{ lin\left\{ \left( 1,0,-1\right) \right\}}\) czyli suma wymiarów to \(\displaystyle{ 2}\) i macierz nie jest diagonalizowalna. Problem w tym, że wolfram pokazuje inaczej. Do tych przestrzeni rozpinających dodaje jeszcze \(\displaystyle{ lin\left\{ \left( 0,1,0\right) \right\}}\). W czym błąd?
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

diagonalizacja macierzy

Post autor: norwimaj »

Po pierwsze, symetryczna macierz rzeczywista jest diagonalizowalna.

Po drugie, macierz

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-1&0&1\\0&0&0\\1&0&-1\end{array}\right]}\)

przekształca wektor \(\displaystyle{ (0,1,0)}\) na \(\displaystyle{ (0,0,0)}\). Jakże więc twierdzisz, że nie należy on do jądra tej macierzy?
Awatar użytkownika
waliant
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1801
Rejestracja: 9 gru 2010, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 275 razy
Pomógł: 183 razy

diagonalizacja macierzy

Post autor: waliant »

No dobrze wszystko się zgadza, tylko patrząc na moją metodę, czyli szukanie przestrzeni rozpinającej, to nie wiem dlaczego po rozpisaniu układów równań, czyli pomnożeniu macierzy przez wektor \(\displaystyle{ \left[ x,y,z\right]}\), dostajemy taką przestrzeń rozpinającą? Czyli ponawiam pytanie dlaczego moje rozumowanie nie jest poprawne?
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

diagonalizacja macierzy

Post autor: norwimaj »

Nie napisałeś, w jaki sposób szukasz tej przestrzeni rozpinającej, więc nie wiem, gdzie dokładnie popełniasz błąd.
Awatar użytkownika
waliant
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1801
Rejestracja: 9 gru 2010, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 275 razy
Pomógł: 183 razy

diagonalizacja macierzy

Post autor: waliant »

a więc mnożę macierze przez wektor \(\displaystyle{ \left[ x,y,z\right]}\) i otrzymuję odpowiednio układy równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -x+y=0\\x-z=0\end{cases}}\) , zatem wektor własny jest postaci: \(\displaystyle{ \left[ x,0,x\right]}\) więc przestrzeń rozpinająca to: \(\displaystyle{ lin\left\{ \left( 1,0,1\right) \right\}}\).

drugi układ równań to:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x+z=0\\2y=0\\x+z=0 \end{array}}\) więc przestrzeń rozpinająca to \(\displaystyle{ lin\left\{ \left( 1,0,-1\right) \right\}}\)
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

diagonalizacja macierzy

Post autor: norwimaj »

waliant pisze: \(\displaystyle{ \begin{cases} -x+{\color{red}y}=0\\x-z=0\end{cases}}\)
Zacznij od poprawienia układu.
Awatar użytkownika
waliant
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1801
Rejestracja: 9 gru 2010, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 275 razy
Pomógł: 183 razy

diagonalizacja macierzy

Post autor: waliant »

no tak powinno być
\(\displaystyle{ \begin{cases} -x+z=0\\x-z=0\end{cases}}\)
lecz wynik zapisałem do tego układu, więc pytanie pozostaje.
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

diagonalizacja macierzy

Post autor: norwimaj »

I naprawdę twierdzisz, że trójka

\(\displaystyle{ \begin{cases}x=0\\y=1\\z=0\end{cases}}\)

nie spełnia tego układu równań?
ODPOWIEDZ