diagonalizacja macierzy
- waliant
- Użytkownik
- Posty: 1801
- Rejestracja: 9 gru 2010, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 275 razy
- Pomógł: 183 razy
diagonalizacja macierzy
Mam zdiagonalizować taką macierz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{array}\right]}\)
Wartości własne to \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -1}\).
Wektory własne:
dla \(\displaystyle{ 1}\):
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-1&0&1\\0&0&0\\1&0&-1\end{array}\right]}\) zatem przestrzeń rozpinająca to \(\displaystyle{ lin\left\{ \left( 1,0,1\right) \right\}}\)
dla \(\displaystyle{ -1}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&2&0\\1&0&1\end{array}\right]}\) zatem przestrzeń rozpinająca to \(\displaystyle{ lin\left\{ \left( 1,0,-1\right) \right\}}\) czyli suma wymiarów to \(\displaystyle{ 2}\) i macierz nie jest diagonalizowalna. Problem w tym, że wolfram pokazuje inaczej. Do tych przestrzeni rozpinających dodaje jeszcze \(\displaystyle{ lin\left\{ \left( 0,1,0\right) \right\}}\). W czym błąd?
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{array}\right]}\)
Wartości własne to \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -1}\).
Wektory własne:
dla \(\displaystyle{ 1}\):
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-1&0&1\\0&0&0\\1&0&-1\end{array}\right]}\) zatem przestrzeń rozpinająca to \(\displaystyle{ lin\left\{ \left( 1,0,1\right) \right\}}\)
dla \(\displaystyle{ -1}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&2&0\\1&0&1\end{array}\right]}\) zatem przestrzeń rozpinająca to \(\displaystyle{ lin\left\{ \left( 1,0,-1\right) \right\}}\) czyli suma wymiarów to \(\displaystyle{ 2}\) i macierz nie jest diagonalizowalna. Problem w tym, że wolfram pokazuje inaczej. Do tych przestrzeni rozpinających dodaje jeszcze \(\displaystyle{ lin\left\{ \left( 0,1,0\right) \right\}}\). W czym błąd?
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
diagonalizacja macierzy
Po pierwsze, symetryczna macierz rzeczywista jest diagonalizowalna.
Po drugie, macierz
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-1&0&1\\0&0&0\\1&0&-1\end{array}\right]}\)
przekształca wektor \(\displaystyle{ (0,1,0)}\) na \(\displaystyle{ (0,0,0)}\). Jakże więc twierdzisz, że nie należy on do jądra tej macierzy?
Po drugie, macierz
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-1&0&1\\0&0&0\\1&0&-1\end{array}\right]}\)
przekształca wektor \(\displaystyle{ (0,1,0)}\) na \(\displaystyle{ (0,0,0)}\). Jakże więc twierdzisz, że nie należy on do jądra tej macierzy?
- waliant
- Użytkownik
- Posty: 1801
- Rejestracja: 9 gru 2010, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 275 razy
- Pomógł: 183 razy
diagonalizacja macierzy
No dobrze wszystko się zgadza, tylko patrząc na moją metodę, czyli szukanie przestrzeni rozpinającej, to nie wiem dlaczego po rozpisaniu układów równań, czyli pomnożeniu macierzy przez wektor \(\displaystyle{ \left[ x,y,z\right]}\), dostajemy taką przestrzeń rozpinającą? Czyli ponawiam pytanie dlaczego moje rozumowanie nie jest poprawne?
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
diagonalizacja macierzy
Nie napisałeś, w jaki sposób szukasz tej przestrzeni rozpinającej, więc nie wiem, gdzie dokładnie popełniasz błąd.
- waliant
- Użytkownik
- Posty: 1801
- Rejestracja: 9 gru 2010, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 275 razy
- Pomógł: 183 razy
diagonalizacja macierzy
a więc mnożę macierze przez wektor \(\displaystyle{ \left[ x,y,z\right]}\) i otrzymuję odpowiednio układy równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -x+y=0\\x-z=0\end{cases}}\) , zatem wektor własny jest postaci: \(\displaystyle{ \left[ x,0,x\right]}\) więc przestrzeń rozpinająca to: \(\displaystyle{ lin\left\{ \left( 1,0,1\right) \right\}}\).
drugi układ równań to:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x+z=0\\2y=0\\x+z=0 \end{array}}\) więc przestrzeń rozpinająca to \(\displaystyle{ lin\left\{ \left( 1,0,-1\right) \right\}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} -x+y=0\\x-z=0\end{cases}}\) , zatem wektor własny jest postaci: \(\displaystyle{ \left[ x,0,x\right]}\) więc przestrzeń rozpinająca to: \(\displaystyle{ lin\left\{ \left( 1,0,1\right) \right\}}\).
drugi układ równań to:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x+z=0\\2y=0\\x+z=0 \end{array}}\) więc przestrzeń rozpinająca to \(\displaystyle{ lin\left\{ \left( 1,0,-1\right) \right\}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
diagonalizacja macierzy
Zacznij od poprawienia układu.waliant pisze: \(\displaystyle{ \begin{cases} -x+{\color{red}y}=0\\x-z=0\end{cases}}\)
- waliant
- Użytkownik
- Posty: 1801
- Rejestracja: 9 gru 2010, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 275 razy
- Pomógł: 183 razy
diagonalizacja macierzy
no tak powinno być
\(\displaystyle{ \begin{cases} -x+z=0\\x-z=0\end{cases}}\)
lecz wynik zapisałem do tego układu, więc pytanie pozostaje.
\(\displaystyle{ \begin{cases} -x+z=0\\x-z=0\end{cases}}\)
lecz wynik zapisałem do tego układu, więc pytanie pozostaje.
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
diagonalizacja macierzy
I naprawdę twierdzisz, że trójka
\(\displaystyle{ \begin{cases}x=0\\y=1\\z=0\end{cases}}\)
nie spełnia tego układu równań?
\(\displaystyle{ \begin{cases}x=0\\y=1\\z=0\end{cases}}\)
nie spełnia tego układu równań?