Równość dwóch przestrzeni - dowód

[kejkun7]

no dobra wymiar bd 2, ale w \(\displaystyle{ \RR^3}\) czy w \(\displaystyle{ \RR^2}\) jak mam to rozumieć ?

[Kacperdev]

Może inaczej.
\(\displaystyle{ V}\) z naszego zadania będzie pewną podprzestrzenią przestrzeni \(\displaystyle{ \RR ^{3}}\). Wymiar \(\displaystyle{ V}\) będzie \(\displaystyle{ 2}\).

[kejkun7]

hm, a co to znaczy podprzestrzeń przestrzeni ?
tutaj dlatego , że wektora brakuje jednego, tak ?

[Kacperdev]

1. Przestrzeń liniowa to pewien zbiór wektorów nad pewnym ustalonym ciałem.
2. Podprzestrzeń to jakby podzbiór jakiejś przestrzeni.

np. \(\displaystyle{ W=\left\{ \left( 0,0,0\right)\right\}}\) niech będzie przestrzenią linową

Wektor \(\displaystyle{ \left(0,0,0\right) \in \RR ^{3}}\) więc jest to podprzestrzenią liniową \(\displaystyle{ \RR ^{3}}\)

Jaki będzie wymiar \(\displaystyle{ W}\) ?

[kejkun7]

stawiam, że jeden.
ten wektor \(\displaystyle{ W}\) był tutaj ustalony nad ciałem \(\displaystyle{ \RR^3}\) ?

[Kacperdev]

stawiam, że jeden.
ten wektor \(\displaystyle{ W}\) był tutaj ustalony nad ciałem \(\displaystyle{ \RR ^3}\) ?

\(\displaystyle{ \RR ^{3}}\) nie jest ciałem tylko przestrzenią liniową

\(\displaystyle{ \RR}\) jest ciałem.

\(\displaystyle{ W}\) nie nie jest wektorem. Jest zbiorem składajacym się z wektora, a w naszym rozumieniu jest przestrzenią liniową trywialna/zerową.

Niestety nie. Baza \(\displaystyle{ W}\) jest zbiorem pustym. Więc wymiar jest zerowy.

Jeżeli zdefiniowałbym \(\displaystyle{ W' = lin \left\{ \left( 1,2,3\right) \right\}}\) to wtedy wymiar byłby \(\displaystyle{ 1}\).


Może warto jeszcze raz dokładnie powtórzyć wiedzę teoretyczną? ; )

[kejkun7]

może tak, ale dzięki za pomoc

[yorgin]

i wyszło, że tylko \(\displaystyle{ \left(1,4,0 \right)}\) jest niezależny,

\(\displaystyle{ -2\cdot (4,1,-3)+3\cdot (3,2,-2)=(1,4,0)}\)

a tamte 3 są proporcjonalne wzgledem siebie.

Nie są.

no to biore ten niezależny + drugi dowolny.

W świetle powyższego argument żaden.