Równość dwóch przestrzeni - dowód

[kejkun7]

Wykazać, że \(\displaystyle{ V = \ \RR^3}\) jeżeli \(\displaystyle{ V = lin \left\{\left(1,2,-1 \right) ; \left(3,1,2 \right) ; \left(-1,-4,2 \right) \right\}}\)

czy wystarczy pokazać, że te wektory są liniowo niezależne, czy też należy pokazać coś innego?

[Kacperdev]

Trzeba pokazać, że te wektory generują \(\displaystyle{ \RR ^{3}}\)

Czyli każdy wektor z \(\displaystyle{ \RR ^{3}}\) może być zapisany jako kombinacja liniowa tych danych wektorów.

Oczywiście w tym wypadku sprawdzenie liniowej niezależności także załatwiłoby sprawę, ale pytanie czy jest się tego świadomym. Bo wiemy, że wymiar \(\displaystyle{ \RR ^{3}}\) to 3 czyli bazę stanowią 3 wektory liniowo niezależne.

[ucashT]

Skąd masz pewność, że bazę \(\displaystyle{ R ^{3}}\) stanowią 3 wektory niezależne?
Dla mnie jest to kompletną bzdurą. \(\displaystyle{ R ^{3}}\) mówi, że wektory które tworzą tą przestrzeń mają dokładnie 3 współrzędne, a tych wektorków może być 2.
Jeśli jestem w błędzie to mnie z niego wyprowadź, czekam.

[yorgin]

Skąd masz pewność, że bazę \(\displaystyle{ R ^{3}}\) stanowią 3 wektory niezależne?

Przypomnij sobie definicję bazy.

Dla mnie jest to kompletną bzdurą. \(\displaystyle{ R ^{3}}\) mówi, że wektory które tworzą tą przestrzeń mają dokładnie 3 współrzędne, a tych wektorków może być 2.

Wygeneruj w takim razie wektor \(\displaystyle{ (0,0,1)}\) przy użyciu wektorów \(\displaystyle{ (1,0,0)}\) oraz \(\displaystyle{ (0,1,0)}\).

\(\displaystyle{ \RR^3}\) mówi, że istotnie wektory z tej przestrzeni mają trzy składowe, ale nic ponadto (w ogólności, w bardziej szczególnych pytaniach być może).

[ucashT]

ucashT napisał(a):
Skąd masz pewność, że bazę stanowią 3 wektory niezależne?

Przypomnij sobie definicję bazy.

Chodziło mi o to, że skąd ma pewność, że bazę danej przestrzeni tworzą ZAWSZE 3 wektory niezależne.
Nie musi przecież tak być (co nie oznacza, że nie może).

Co do generowania wektorów to już odpowiedziałem wyżej, ale dodam dla świętego spokoju, że akurat w tym przypadku baza ma 3 wektory.

\(\displaystyle{ R ^{3}}\) mówi, że istotnie wektory z tej przestrzeni mają trzy składowe, ale nic ponadto (w ogólności, w bardziej szczególnych pytaniach być może).

No właśnie o to mi chodziło, że \(\displaystyle{ R ^{3}}\) nie zakłada ile jest wektorów w bazie w ogólnym przypadku.

[Kacperdev]

No właśnie o to mi chodziło, że \(\displaystyle{ R ^{3}}\) nie zakłada ile jest wektorów w bazie w ogólnym przypadku.

Wiemy, że wymiar tej przestrzeni to \(\displaystyle{ 3}\) w związku z czym baza składa się z 3 wektorów.

[ucashT]

Tylko pytanie, czy wiesz to, bo sprawdziłeś niezależność/wyliczyłeś bazę czy masz zapisane \(\displaystyle{ R ^{3}}\)?

W poleceniu nie ma pytania o wymiar.

[Kacperdev]

Przeczytaj dokładnie polecenie i zapoznaj się dokładnie z teorią algebry liniowej, bo dyskusja zaczyna być jałowa.

[ucashT]

Polecam Ci to samo.

[Kacperdev]

Jeżeli przestrzeń \(\displaystyle{ V = \RR ^{3}}\) bez dodatkowych warunków to nic nie muszę sprawdzać. Po prostu wiem, że wymiar tej przestrzeni to 3. Owszem mogę ci rzucić w twarz bazą kanoniczną (tak, składa sie z 3 wektorów!). Każda baza \(\displaystyle{ \RR ^{3}}\) bez dodatkowych warunków ZAWSZE będzie się składać z 3 wektorów.

Chcesz więcej?

Ok. Istnieje twierdzenie które mówi, że jeżeli przestrzeń liniowa \(\displaystyle{ V \left( K\right)}\) ma bazę n-elementową to KAŻDA BAZA TEJ PRZESTRZENI SKŁADA SIĘ Z N ELEMENTÓW.

Pozdrawiam.

[yorgin]

Chodziło mi o to, że skąd ma pewność, że bazę danej przestrzeni tworzą ZAWSZE 3 wektory niezależne.
Nie musi przecież tak być (co nie oznacza, że nie może).

Przypomnij sobie definicję bazy.

\(\displaystyle{ R ^{3}}\) mówi, że istotnie wektory z tej przestrzeni mają trzy składowe, ale nic ponadto (w ogólności, w bardziej szczególnych pytaniach być może).

No właśnie o to mi chodziło, że \(\displaystyle{ R ^{3}}\) nie zakłada ile jest wektorów w bazie w ogólnym przypadku.

Nie zakłada, ale w ogólnym przypadku można wskazać bazę. Kanoniczną. I okaże się, że w \(\displaystyle{ \RR^n}\) ta baza ma \(\displaystyle{ n}\) wektorów.

[kejkun7]

a mam takie pytanko jak miałe zupełnie inne zadanie
i wyszła mi taka baza:
\(\displaystyle{ \left\{\left( 1,4,0 \right) , \left(2,3,-1 \right) \right\}}\)
to wymiar tej bazy to \(\displaystyle{ 2}\)
ale w \(\displaystyle{ \RR^3}\) czy jak to jest?
i ta baza jest jak najbardziej poprawna ?
Bo zaczynam się gubić ;x

[Kacperdev]

Zależy jak zdefiniowana jest przestrzeń liniowa. Jeżeli przestrzeń liniowa zdefiniowana jest tylko jako \(\displaystyle{ V = \RR ^{3}}\) to źle na mocy powyższej dyskusji.

Jeżeli jednak ustalone są na tej przestrzeni jakieś warunki to wymiar może być już mniejszy. Wtedy tak naprawde ustalimy pewną podprzestrzeń \(\displaystyle{ \RR ^{3}}\)

[kejkun7]

było takie zadanie:
Wyznaczyć dwa różne układy wektorów rozpinających podaną przestrzeń liniową
\(\displaystyle{ V = lin \left\{\left(4,1,-3 \right);\left(3,2,-2 \right); \left(2,3,-1 \right);\left(1,4,0 \right) \right\}}\)
(inaczej dwie różne bazy przestrzeni V). Podać wymiar V.


i wyszło, że tylko \(\displaystyle{ \left(1,4,0 \right)}\) jest niezależny, a tamte 3 są proporcjonalne wzgledem siebie.
no to biore ten niezależny + drugi dowolny.

to tutaj w tym zadaniu, powiedz mi jak to będzie ?
Są te warunki o których mówisz?
Jakbyś rozjaśnił, byłoby miło

[Kacperdev]

Tak, są one wpisane w sposób definicji przestrzeni. Wymiar tej przestrzeni (jeżeli wierzyć Twoim rachunkom) faktycznie będzie 2. Nie należy się sugerować, że wektory składają z ciągów trójelementowych - więc wymiar będzie 3. Nie musi tak być.