Czy zbiór jest podprzestrzenią liniową

[kejkun7]

a) Czy zbiór \(\displaystyle{ V = \left\{\left(x_1;x_2;x_3;x_4 \right) \ \in \RR^4 \ : x_2 = 2x_1 \right\}}\) jest podprzestrzenią liniową przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^4}\)

b) Czy zbiór \(\displaystyle{ V = \left\{\left(x_1;x_2;x_3;x_4 \right) \ \in \RR^4 \ : x_2 = x_1 +1 \right\}}\) jest podprzestrzenią liniową przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^4}\)

c) Czy zbiór \(\displaystyle{ V = \left\{ x \in M_{2 \ x \ 1 } (R): \left[
\begin{array}{cc}
1 \ ; \ -2 \\
3 \ ; \ -6

\end{array}
\right]
\qquad \ x \ = \left[ \begin{array}{cc}
0 \\
0

\end{array}
\right] \right]
\qquad \ \right\}}\) jest podprzestrzenią liniową przestrzeni \(\displaystyle{ M_{2 \ x \ 1 } (R)}\) ?

d) Czy zbiór \(\displaystyle{ V = \left\{ \left[
\begin{array}{cc}
a \ ; \ c \\
-c \ ; \ b

\end{array}
\right]
\qquad \ a+b=0 \ a,b,c \ \in \ \RR \ \right\}}\) jest podprzestrzenią liniową przestrzeni \(\displaystyle{ M_{2 \ x \ 2 } (R)}\) ?

e) Czy zbiór \(\displaystyle{ V = \left\{ \left[
\begin{array}{cc}
a \ ; \ 1 \\
-1 \ ; \ b

\end{array}
\right]
\qquad \ a+b=0 \ a,b \ \in \ \RR \ \right\}}\) jest podprzestrzenią liniową przestrzeni \(\displaystyle{ M_{2 \ x \ 2 } (R)}\) ?



w a) wydaję mi się że tak, a np.w b) dla \(\displaystyle{ x_1 = 0 \ x_2 =0}\)
dostaje \(\displaystyle{ 0 = 1}\) wiec sprzeczność, ale jak udowodnić to o co mnie proszą we wszystkich przykładach, niż tak strzelać jak ja?

[musialmi]

Musisz udowodnić liniowość lub jej brak. Warunki liniowości znajdziesz tutaj (przestrzeń liniowa i wektorowa to to samo): ... _wektorowe

[kejkun7]

czyli mam sprawdzić te 5 warunków, gdzie pierwszym jest:
V_1 ) Zbiór \(\displaystyle{ V}\) z dodawaniem jest grupą przemienną.

no to tak chyba będzie w każdym z przykładów ?

V2) natomiast spełnia a) , ale nie spełnia np. b)
nie wiem jak sprawdzić w reszcie przykładów ;/, bo tu na oko widać