Dla jakiej liczby a, zbior B jest bazą

[kejkun7]

Dla jakiej liczby \(\displaystyle{ a \in \RR}\), zbior \(\displaystyle{ B=\left\{\left( 1,-1,a \right) ; \left( 2,a,1 \right); \left( a,2,1 \right) \right\}}\) jest bazą przestrzenie \(\displaystyle{ \RR^3}\) ?

Wydaje mi się, że wystarczy sprawdzić liniową niezależność, w związku z tym:

\(\displaystyle{ \alpha_1 \cdot \left[
\begin{array}{cc}
1 \\
-1 \\
a
\end{array}
\right]
\qquad}\) \(\displaystyle{ + \alpha_2 \cdot \left[
\begin{array}{cc}
2 \\
a \\
1
\end{array}
\right]
\qquad}\) \(\displaystyle{ +\alpha_3 \cdot \left[
\begin{array}{cc}
a \\
2 \\
1
\end{array}
\right]
\qquad = 0}\)

czyli:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_1 + 2\alpha_2+a\alpha_3=0 \\ -\alpha_1 + a\alpha_2+2\alpha_3=0 \\ a \alpha_1 + \alpha_2+\alpha_3=0 \end{cases}}\)

dochodze do tego, że \(\displaystyle{ \alpha_2 = - \alpha_3}\)
i dostaję np. równanie: \(\displaystyle{ a \alpha_3 [-a+2] = 0}\)
wobec czego: \(\displaystyle{ a=0 \ \vee \ a=2}\)
i teraz mam dalej rozważać tylko dla tych \(\displaystyle{ a}\) czy też jak mam dalej posątpić?
Rozumiem, że jeśli tutaj będą takie \(\displaystyle{ a}\) to nie jest wtedy bazą?

[chris_f]

Aby ten układ wektorów tworzył bazę, to ten układ równań musi mieć jednie rozwiązanie zerowe, co oznacza, że wyznacznik musi być różny od zera.
Stąd mamy warunek
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}1&2&a\\ -1&a&2\\ a&1&1\end{vmatrix}\neq0}\)
Policz wyznacznik, przyrównaj do zera i otrzymane rozwiązania odrzuć. Dla pozostałych \(\displaystyle{ a}\) wektory będą tworzyły bazę.