uzasadnić, że wektory należą do bazy

[kejkun7]

\(\displaystyle{ L = \{\left(x_1;x_2;x_3;x_4 \right) | 2x_1-x_2+2x_3-2x_4=0\}}\)
\(\displaystyle{ L}\) jest przestrzenią \(\displaystyle{ \RR^4}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ V_1 = \left( \frac{1}{2} ;1;0;0 \right)}\)
\(\displaystyle{ V_2 = \left( 1 ;0;-1;0 \right)}\)

\(\displaystyle{ V_3 = \left( 1 ;0;0;1 \right)}\)

są bazą \(\displaystyle{ L}\).

1. liniową niezależność rozwiązałem.

2. chciałem pokazać, że \(\displaystyle{ lin \left\{V_1;V_2;V_3 \right\} = L}\)
więc tu moje pytanie, czy wystarczy pokazać, że te wektory są zamknięte względem kombinacji liniowej, co implikuje to, że są przestrzenią liniową. Czy inaczej jakoś to pokazać??

[yorgin]

więc tu moje pytanie, czy wystarczy pokazać, że te wektory są zamknięte względem kombinacji liniowej, co implikuje to, że są przestrzenią liniową.

Nie rozumiem, co z tego będzie wynikało dla Ciebie.

Czy inaczej jakoś to pokazać??

Łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ L}\) jest przestrzenią co najwyżej trójwymiarową. Z drugiej strony każdy z wektorów \(\displaystyle{ V_1, V_2, V_3}\) należy do \(\displaystyle{ L}\) i wszystkie te są liniowo niezależne. Wobec tego \(\displaystyle{ L}\) jest trójwymiarową przestrzenią wektorową. Ponadto \(\displaystyle{ V_1, V_2, V_3}\) tworzą bazę tej przestrzeni (w przestrzeniach skończenie wymiarowych liniowa niezależność jest równoważna byciem bazą).