Cześć,
weźmy takie zadanie:
Zbadaj, czy dane wektory w przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ C_{ -\infty , \infty}\) są liniowo zależne.
a) \(\displaystyle{ 1, x \sin x , x \cos x}\)
Wg odpowiedzi nie są. W takim razie, co trzeba pokazać dokładnie. Bo przecież jeżeli x =0 i odpowiedni współczynnik przy wektorze 1 będzie miał wartość zero to cała suma się zeruje.
b) \(\displaystyle{ 1 , x ,x + \sin^x x , x + cos^2 x}\)
c) \(\displaystyle{ \sqrt{x} , \sqrt[3]{x} ,\sqrt[4]{x}}\)
d) zbadać, czy dane wektory przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ Map(\ZZ_3, \ZZ_3)}\) są liniowo zależne:
a) \(\displaystyle{ x, x^3}\)Zeby były liniowo zależne musi zachodzić:
\(\displaystyle{ ax + bx^3 = 0}\)
Tylko elementami przestrzeni tej nie są wektory a funkcje ( wszystkie takie\(\displaystyle{ f: \ZZ_3 \rightarrow \ZZ_3}\)
Tylko, czy w tym przypadku mnożeniem jest mnożenie modulo 3, a dodawaniem, dodawanie 3?
Ponadto, co tu jest wektorem zerowym?
niezależność wektorów
-
yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
niezależność wektorów
a) Cała suma się zeruje dla jednego argumentu. A powinna dla wszystkich.
d) Działania są takie, jak napisałeś. Wektor zerowy to funkcja stale równa zero.
d) Działania są takie, jak napisałeś. Wektor zerowy to funkcja stale równa zero.
-
tukanik
- Użytkownik
- Posty: 1054
- Rejestracja: 8 paź 2012, o 23:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 696 razy
niezależność wektorów
No ale jak pokazać, że tak nie jest?a) Cała suma się zeruje dla jednego argumentu. A powinna dla wszystkich.
Ok, faktycznie. Wektor zerowy jest elementem neutralnym wśród wektorów, w funkcja zerowa wśród funkcji
Czyli na przestrzenie wektorowe ( !) nie należy patrzeć jako na przestrzenie, w takim sensie, że zawsze mają one wektory jako elementy. W sumie to struktura algebraiczna jak każda inna obłożona pewnymi warunkami, ale dla przestrzeni jakoś nienaturalnie jest, żeby było co innego .
Ale może to też być łąka z kwiatkami
-
yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
niezależność wektorów
No to niech
\(\displaystyle{ a+x(b\cos x+c\sin x)=0}\)
dla wszelkich \(\displaystyle{ x}\).
Oczywiście \(\displaystyle{ a=0}\). Dla \(\displaystyle{ x\neq 0}\) mamy mieć \(\displaystyle{ b\cos x+c\sin x=0}\).
Widać, że jeżeli \(\displaystyle{ b=0}\), to \(\displaystyle{ c}\) też musi być zerem. Odwrotnie też. To załóżmy, że obie \(\displaystyle{ b, c}\) są niezerowe.
Mamy
\(\displaystyle{ b\cos x+c\sin x=\frac{1}{\sqrt{b^2+c^2}}(\cos \alpha\cos x+\sin\alpha\sin x)=\frac{1}{\sqrt{b^2+c^2}}(\cos(x-\alpha))}\)
gdzie
\(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{b}{\sqrt{b^2+c^2}}, \sin\alpha=\frac{c}{\sqrt{b^2+c^2}}}\).
Teraz musiałoby być
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{b^2+c^2}}(\cos(x-\alpha))\equiv 0}\)
co jest niemożliwe. Zatem \(\displaystyle{ b=c=0}\).
\(\displaystyle{ a+x(b\cos x+c\sin x)=0}\)
dla wszelkich \(\displaystyle{ x}\).
Oczywiście \(\displaystyle{ a=0}\). Dla \(\displaystyle{ x\neq 0}\) mamy mieć \(\displaystyle{ b\cos x+c\sin x=0}\).
Widać, że jeżeli \(\displaystyle{ b=0}\), to \(\displaystyle{ c}\) też musi być zerem. Odwrotnie też. To załóżmy, że obie \(\displaystyle{ b, c}\) są niezerowe.
Mamy
\(\displaystyle{ b\cos x+c\sin x=\frac{1}{\sqrt{b^2+c^2}}(\cos \alpha\cos x+\sin\alpha\sin x)=\frac{1}{\sqrt{b^2+c^2}}(\cos(x-\alpha))}\)
gdzie
\(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{b}{\sqrt{b^2+c^2}}, \sin\alpha=\frac{c}{\sqrt{b^2+c^2}}}\).
Teraz musiałoby być
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{b^2+c^2}}(\cos(x-\alpha))\equiv 0}\)
co jest niemożliwe. Zatem \(\displaystyle{ b=c=0}\).