Wektory własne, podwójna wartość własna

[KaBaSZo]

Dla macierzy
\(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{ccc}
1&2&-1 \\
1&2&-1 \\
2&2&-1
\end{array}
\right]}\)

wartości własne wynoszą \(\displaystyle{ \lambda_{1} = 0}\) i podwójne \(\displaystyle{ \lambda_{2} = 1}\)

Dla \(\displaystyle{ \lambda_{1} = 0}\) wektor własny to \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}0 \\ \frac{z}{2} \\ z\end{array}\right]}\), \(\displaystyle{ z \in R}\)

natomiast dla \(\displaystyle{ \lambda_{2} = 1}\) mam wektor \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}x \\ x \\ 2x\end{array}\right]}\), gdzie \(\displaystyle{ x \in R}\).
Wartość była podwójna a wektor wychodzi jeden. Dlaczego? Co w takim przypadku się robi?
Poza tym o ile się nie mylę to te wektory nie są ortogonalne. Czy coś zrobiłem źle?

[fon_nojman]

Dobrze policzyłeś. To jest normalne liczba wartości własnych wraz z krotnościami zawsze będzie równa \(\displaystyle{ n}\) (gdy macierz jest wymiaru \(\displaystyle{ n \times n}\)) co innego z wektorami własnymi, wiadomo że dla różnych wartości własnych będą one liniowo niezależne ale nie muszą rozpinać przestrzeni \(\displaystyle{ n}\) wymiarowej mogą rozpinać przestrzeń o mniejszym wymiarze. Innymi słowy krotność wartości własnej nie musi pokrywać się z wymiarem podprzestrzeni własnej.

Inny niż twój prosty przykład:

\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} 0&1 \\ 0&0 \end{array} \right].}\)

Skąd taka niepewność w to co wyszło?

Czy w tym zadaniu masz jeszcze coś innego do zrobienia?

[KaBaSZo]

Byłem przekonany, że musi być tyle wektorów ile wartości.

W zadaniu było tylko to do zrobienia.

Dzięki za wyjaśnienie, natomiast jak teraz wyglądałoby sprawdzenie jaką przestrzeń te dwa wektory rozpinają?