ilość macierzy nieosobliwych

[tukanik]

Wyznacz ilość macierzy nieosobliwych o wymiarze \(\displaystyle{ n}\) nad ciałem \(\displaystyle{ K}\), w którym znajduje się \(\displaystyle{ q}\) elementów.
Zupełnie nie wiem jak ;(.
Myślałem nad takim podejściem. Popatrzeć na macierz jako kolumny. Te kolumny muszą być liniowo niezależne. Zatem, jeżeli wybierzemy już pierwszą kolumnę to druga nie może być wielokrotnością pierwszej i tak dalej. Ale w obliczaniu już się gubię. Potem chyba jeszcze trzeba rozpatrywać liniową niezależność, jeżeli spojrzymy na macierz jako na ciąg wektorów, ale teraz nie kolumn a wierszy. Coś mi się jednak wydaje, że tego nie musimy już rozpatrywać, bo przecież rozpatrywaliśmy wszelkie permutacje na kolumnach, to wiersze też się zmieniały. Jednak, nie potrafię się do końca do tego przekonać:)
Pozdrawiam!: )

[norwimaj]

Wystarczy, że kolumny będą liniowo niezależne. Na wiersze już nie musisz patrzeć. Dla macierzy kwadratowej liniowa niezależność wierszy jest równoważna liniowej niezależności kolumn.

Musisz znaleźć wszystkie takie macierze, że przestrzeń liniowa rozpięta na wektorach \(\displaystyle{ k}\) pierwszych kolumn jest \(\displaystyle{ k}\)-wymiarowa. Dobierając \(\displaystyle{ k+1}\)-wszy wektor musisz zadbać tylko o to, żeby nie był on w przestrzeni rozpiętej przez \(\displaystyle{ k}\) pierwszych wektorów. Wystarczy wiedzieć, ile elementów ma ta przestrzeń.