Baza wskazanej przestrzeni liniowej

[Heisenberg]

Sprawdź z definicji, czy zbiór wektorów \(\displaystyle{ \left\{ 2x+4,3x-x^{2},-2x^{2}+4x-4\right\}}\) jest bazą przestrzeni \(\displaystyle{ R _{2}\left[ x\right]}\)

[Marmat]

Definicja:
Układ wektorów \(\displaystyle{ e_1,e_2,.....,e_n}\) są bazą przestrzeni wektorowej V jeśli:
1. są liniowo niezależne,
2. generują przestrzeń V .
Pokażę, że wektory te nie są liniowo niezależne.
Definicja:
Wektory są liniowo niezależne jeśli żadnego z nich nie da się przedstawić w postaci kombinacji liniowej pozostałych.
Weźmy wektor \(\displaystyle{ -2x^2+4x-4}\)
Spróbujmy otrzymać go jako kombinację liniową pozostałych:
\(\displaystyle{ \alpha (2x+4)+ \beta (3x-x^2)=-2x^2+4x-4}\)
Rozpisując współrzędne:
\(\displaystyle{ \beta =2, \ \ 2 \alpha +3 \beta =4 \\
2 \alpha +6=4 \\
\alpha =-1}\)
Więc:
\(\displaystyle{ -1*(2x+4)+2*(3x-x^2)=-2x^2+4x-4}\)
Wobec tego wektory te nie są liniowo niezależne, więc nie mogą być bazą tej przestrzeni.
Pozdrawiam.

[Heisenberg]

Mam takie pytanie odnośnie 2 warunku. Jak wyznaczyć generatory np. takiej przestrzeni\(\displaystyle{ V= \left\{ (r,s,t,u) \in R : 2r+s-t,t-u,r+3s+u,s+u,t-u\right\}}\). Czy to można zrobić w ten sposób: \(\displaystyle{ r(2,0,1,0,0)+s(2,0,1,0,0)+t(-1,1,0,0,1)+u(0,-1,1,1,-1)}\) ?

[Marmat]

Nie rozumiem definicji tej przestrzeni.
Czy mógłbyś ewentualnie poprawić?-- 17 marca 2014, 22:41 --Myślę, że chodzi o:
\(\displaystyle{ V=\left\{ (2r+s-t,t-u,r+3s+u,s+u,t-u) \in R^5: r,s,t,u \in R\right\}}\)
Najprościej to chyba tak:
Rozpatrz odwzorowanie liniowe:
\(\displaystyle{ f: \ R^4 \rightarrow R^5}\)
\(\displaystyle{ f(r,s,t,u)=(2r+s-t,t-u,r+3s+u,s+u,t-u)}\)
Obrazem tego odwzorowania jest przestrzeń V.
Czyli Imf=V.
Obraz bazy przestrzeni \(\displaystyle{ R^4}\) generuje Imf czyli przestrzeń V.
Weźmy bazę kanoniczną przestrzeni wyjściowej.
f(1,0,0,0)=(2,0,1,0,0)
f(0,1,0,0)=(1,0,3,1,0)
f(0,0,1,0)=(-1,1,0,0,1)
f(0,0,0,1)=(0,-1,1,1,-1)
i te wektory generuj ą V.
(można wziąć jakąś inną bazę \(\displaystyle{ R^4}\))
Niech \(\displaystyle{ y \in V=Imf \\
\exists x \in R^4 : y=f(x) \\
x=(r,s,t,u) \\
x=r(1,0,0,0)+s(0,1,0,0)+t(0,0,1,0)+u(0,0,0,1) \\
y=f(x)=r(2,0,1,0,1)+s(1,0,3,1,0)+t(-1,1,0,0,1)+u(0,-1,1,1,-1)}\)
Pozdrawiam.