14. Znaleźć bazę i wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ V=lin\left\{ \left( 0;1;0\right);\left( 1;1;1\right);\left( 1;0;1\right) \right\}}\).
Moja odpowiedź: Sprawdziłem czy pierwszy wektor jest liniowo zależny od drugiego i trzeciego. Wyszło, że tak. I tu pojawia się pytanie: czy to wystarczy, żeby powiedzieć, że te wektory są liniowo zależne, czy muszę sprawdzić czy drugi jest liniowo zależny od pierwszego i trzeciego oraz trzeci od pierwszego i drugiego? Nie znając odpowiedzi na to pytanie, sprawdziłem również pozostałe dwie możliwości i wyszło, że wszystkie 3 są liniowo zależne. Więc nie jest to przestrzeń trójwymiarowa. Sprawdziłem więc czy pierwszy jest liniowo zależny od drugiego. Wyszło, że nie jest. Od trzeciego również nie jest. Wynika z tego, że przestrzeń jest dwuwymiarowa. Generatorami przestrzeni są dwa spośród tych trzech wektorów, a bazą zbiór tych dwóch.
16. Czy podane trzy wektory (...) można uzupełnić do bazy \(\displaystyle{ R^{4}}\)?
Moja odpowiedź: Istnieje twierdzenie, które mówi: Niech \(\displaystyle{ \vec{v_1},...,\vec{v_n}}\) będzie układem liniowo niezależnym w skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej V. Układ ten można uzupełnić do bazy. Zatem jeśli te wektory są liniowo niezależne, to można je uzupełnić do bazy. Jednakże, co jeśli te wektory są liniowo zależne? Chyba również można je uzupełnić do bazy (choć będzie to wymagało dostawienia większej ilości wektorów)? Proszę o odpowiedź. Czy układu jakichś wektorów nie można uzupełnić do jakiejkolwiek bazy? Chyba, że haczyk w moim rozumowaniu polega na tym, że jeśli początkowe wektory będą liniowo zależne, to baza, do której dążymy, nie będzie NAJMNIEJSZYM zbiorem generatorów, więc nie będzie bazą...
17. Znajdź bazę i wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ V=\left\{ w\left( x\right) \in R_3\left[ x\right]:w\left( x\right)=w\left( -x\right) \right\}}\).
Moja odpowiedź:
\(\displaystyle{ w\left( x\right)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}\)
\(\displaystyle{ w\left( -x\right)=-ax^{3}+bx^{2}-cx+d}\)
No i stąd wywnioskowałem bazę w sposób, można by rzec, przypadkowy. Taką: \(\displaystyle{ B=\left\{ \left( x^{3}\right);\left( x^{2}\right);\left( x\right); \left( 1\right) \right\}}\). Każdy wektor ma jedną współrzędną, więc przestrzeń jest jednowymiarowa. Czuje spore wątpliwości, co do mojego sposobu rozwiązania tego zadania.
Z góry dziękuję za wszystkie sprawdzenia, poprawki, podpowiedzi i odpowiedzi.