Stos bardzo interesujących zadań z podstaw algebry liniowej

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Awatar użytkownika
musialmi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3466
Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PWr ocław
Podziękował: 382 razy
Pomógł: 434 razy

Stos bardzo interesujących zadań z podstaw algebry liniowej

Post autor: musialmi »

Proszę o sprawdzenie poniższych zadań i moich odpowiedzi, nawet po jednym zadaniu... Pomiędzy wplotę pytania, na które odpowiedź również chciałbym od was uzyskać.
Ukryta treść:    
Zadanie sprawdzone (przez pyzola).


14. Znaleźć bazę i wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ V=lin\left\{ \left( 0;1;0\right);\left( 1;1;1\right);\left( 1;0;1\right) \right\}}\).

Moja odpowiedź: Sprawdziłem czy pierwszy wektor jest liniowo zależny od drugiego i trzeciego. Wyszło, że tak. I tu pojawia się pytanie: czy to wystarczy, żeby powiedzieć, że te wektory są liniowo zależne, czy muszę sprawdzić czy drugi jest liniowo zależny od pierwszego i trzeciego oraz trzeci od pierwszego i drugiego? Nie znając odpowiedzi na to pytanie, sprawdziłem również pozostałe dwie możliwości i wyszło, że wszystkie 3 są liniowo zależne. Więc nie jest to przestrzeń trójwymiarowa. Sprawdziłem więc czy pierwszy jest liniowo zależny od drugiego. Wyszło, że nie jest. Od trzeciego również nie jest. Wynika z tego, że przestrzeń jest dwuwymiarowa. Generatorami przestrzeni są dwa spośród tych trzech wektorów, a bazą zbiór tych dwóch.

Ukryta treść:    
Zadanie sprawdzone (przez Arytmetyka).


16. Czy podane trzy wektory (...) można uzupełnić do bazy \(\displaystyle{ R^{4}}\)?

Moja odpowiedź: Istnieje twierdzenie, które mówi: Niech \(\displaystyle{ \vec{v_1},...,\vec{v_n}}\) będzie układem liniowo niezależnym w skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej V. Układ ten można uzupełnić do bazy. Zatem jeśli te wektory są liniowo niezależne, to można je uzupełnić do bazy. Jednakże, co jeśli te wektory są liniowo zależne? Chyba również można je uzupełnić do bazy (choć będzie to wymagało dostawienia większej ilości wektorów)? Proszę o odpowiedź. Czy układu jakichś wektorów nie można uzupełnić do jakiejkolwiek bazy? Chyba, że haczyk w moim rozumowaniu polega na tym, że jeśli początkowe wektory będą liniowo zależne, to baza, do której dążymy, nie będzie NAJMNIEJSZYM zbiorem generatorów, więc nie będzie bazą...


17. Znajdź bazę i wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ V=\left\{ w\left( x\right) \in R_3\left[ x\right]:w\left( x\right)=w\left( -x\right) \right\}}\).

Moja odpowiedź:
\(\displaystyle{ w\left( x\right)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}\)
\(\displaystyle{ w\left( -x\right)=-ax^{3}+bx^{2}-cx+d}\)
No i stąd wywnioskowałem bazę w sposób, można by rzec, przypadkowy. Taką: \(\displaystyle{ B=\left\{ \left( x^{3}\right);\left( x^{2}\right);\left( x\right); \left( 1\right) \right\}}\). Każdy wektor ma jedną współrzędną, więc przestrzeń jest jednowymiarowa. Czuje spore wątpliwości, co do mojego sposobu rozwiązania tego zadania.
Ukryta treść:    
Zadanie sprawdzone (przez yorgina i Arytmetyka).

Ukryta treść:    
Zadanie sprawdzone (przez Wingeda).

Z góry dziękuję za wszystkie sprawdzenia, poprawki, podpowiedzi i odpowiedzi.
Ostatnio zmieniony 12 mar 2014, o 08:26 przez musialmi, łącznie zmieniany 3 razy.
Awatar użytkownika
pyzol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

Stos bardzo interesujących zadań z podstaw algebry liniowej

Post autor: pyzol »

13. Niekoniecznie. Jeśli jeden z nich jest kombinacją dwóch pozostałych, to te przestrzenie będą równe.
Winged
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 16 lis 2012, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 11 razy

Stos bardzo interesujących zadań z podstaw algebry liniowej

Post autor: Winged »

16. Przez uzupełnienie rozumiemy dodawanie elementów. Pytanie co się stanie, jeżeli do układu liniowo zależnego dodamy jeszcze jeden element? Mając liniowo zależny układ możemy znaleźć współczynniki nie wszystkie równe zeru(co nie oznacza, że wszystkie muszą być niezerowe) takie, że kombinacja liniowa z tymi właśnie współczynnikami daje wektor zerowy. Gdy powiększymy nasz układ o np. jeden element, czy ta sytuacja ulegnie zmianie?

19. Tu warto zwrócić uwagę na fakt, że kombinacja liniowa jest sumą skończonej ilości elementów. Ustalmy pewne \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\). Zadajmy sobie pytanie: mając \(\displaystyle{ n}\) dowolnych wektorów(niekoniecznie liniowo niezależnych), jaka może co najwyżej być moc zbioru wszystkich kombinacji liniowych danych wektorów ze współczynnikami wymiernymi(istotny jest tu fakt, że liczby wymierne są zbiorem przeliczalnym)? Czy dla któregokolwiek \(\displaystyle{ n}\) mamy szanse pokryć cały, nieprzeliczalny zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\)?
Awatar użytkownika
musialmi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3466
Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PWr ocław
Podziękował: 382 razy
Pomógł: 434 razy

Stos bardzo interesujących zadań z podstaw algebry liniowej

Post autor: musialmi »

Winged pisze:Gdy powiększymy nasz układ o np. jeden element, czy ta sytuacja ulegnie zmianie?
Ulegnie, jeśli dodamy wektor liniowo niezależny. A jeśli liniowo zależny, to nie ulegnie.

19.: współczynników wymiernych jest nieskończoność, więc kombinacji liniowych tym bardziej nieskończoność. Nie jestem pewien czy rozumiem ostatnie pytanie... Ale odpowiedziałbym, że liczb zespolonych z jednostką urojoną nie da się wyrazić przez liczby wymierne.
Winged
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 16 lis 2012, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 11 razy

Stos bardzo interesujących zadań z podstaw algebry liniowej

Post autor: Winged »

musialmi pisze:
Winged pisze:Gdy powiększymy nasz układ o np. jeden element, czy ta sytuacja ulegnie zmianie?
Ulegnie, jeśli dodamy wektor liniowo niezależny. A jeśli liniowo zależny, to nie ulegnie.

19.: współczynników wymiernych jest nieskończoność, więc kombinacji liniowych tym bardziej nieskończoność. Nie jestem pewien czy rozumiem ostatnie pytanie... Ale odpowiedziałbym, że liczb zespolonych z jednostką urojoną nie da się wyrazić przez liczby wymierne.
16 Ale cóż to znaczy, że wektor jest liniowo niezależny? Ja słyszałem o koncepcie liniowej niezależności układów wektorów, a nie wektorów jako takich.
Mamy liniowo zależny układ \(\displaystyle{ n}\) wektorów \(\displaystyle{ v_1, v_2, \ldots, v_n}\). Wiemy, że istnieją współczynniki \(\displaystyle{ a_1, a_2, \ldots, a_n}\), spośród których co najmniej jeden jest niezerowy takie, że:
\(\displaystyle{ a_1 v_1 + a_2 v_2 + \ldots + a_n v_n = 0}\)
Teraz dodajemy do naszego układu nowy wektor \(\displaystyle{ u}\). Czy istnieją takie skalary \(\displaystyle{ b_1, b_2, \ldots, b_n, c}\), że:
\(\displaystyle{ b_1 v_1 + b_2 v_2 + \ldots + b_n v_n + c u = 0}\)
(co wystarczy przyjąć za \(\displaystyle{ c}\))

19 Obierzmy przykładowo: \(\displaystyle{ v_1 = 1}\), \(\displaystyle{ v_2 = \sqrt(5)}\), \(\displaystyle{ v_3 = i}\). Kombinacją liniową tych trzech wektorów ze współczynnikami wymiernymi można trochę różnych liczb zespolonych uzyskać, w szczególności: \(\displaystyle{ 1}\), \(\displaystyle{ i}\), \(\displaystyle{ 1 - i}\), \(\displaystyle{ \frac{1+\sqrt{5}}{2} + 7i}\).
Tutaj problem polega na czym innym. Zarówno liczby zespolone, jak i wymierne są zbiorami nieskończonymi, ale w przypadku liczb zespolonych ta nieskończoność jest "większa". Liczby wymierne są równoliczne ze zbiorem liczb naturalnych, tj. możliwe jest ustawienie ich w ciąg różnowartościowy, natomiast nie da się tego dokonać w przypadku liczb zespolonych.
Awatar użytkownika
musialmi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3466
Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PWr ocław
Podziękował: 382 razy
Pomógł: 434 razy

Stos bardzo interesujących zadań z podstaw algebry liniowej

Post autor: musialmi »

16. No fakt, liniowo zależny wektor nie znaczy nic. Chodziło mi o to, że jeśli dodamy wektor, który da się wyrazić przez kombinację liniową już istniejących wektorów, to się nic nie zmieni. Natomiast jeśli dodamy wektor, którego nie da się tak wyrazić, to jesteśmy coraz bliżej uzupełnienia do bazy, prawda? A odpowiedź na twoje pytanie to c przeciwne do niezerowego b, tak myślę.

19. Rozumiem. Tylko co z tego wynika, jeśli chodzi o odpowiedź do zadania?
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Stos bardzo interesujących zadań z podstaw algebry liniowej

Post autor: yorgin »

17. Sposób przypadkowy prowadzi do niczego. Twoja baza to baza całego \(\displaystyle{ \RR_3[x]}\). W ogóle nie uwzględniłeś warunku na parzystość funkcji.

18. Też. Poza tym wymienione wektory nie są liniowo niezależne.
Awatar użytkownika
Arytmetyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 357
Rejestracja: 14 sty 2014, o 23:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 105 razy
Pomógł: 41 razy

Stos bardzo interesujących zadań z podstaw algebry liniowej

Post autor: Arytmetyk »

13. tak jak mówi pyzol
14. policz rząd macierzy utworzonej przez te wektory
15. tu wystarczy pokazać, że są liniowo niezależne i wtedy tworzą \(\displaystyle{ R^3}\)
16. Baza to układ wektorów liniowo niezależnych i generuje przesteń V
zatem z tw. Steinitza możesz uzupełnić do bazy każdy układ wektorów liniowo niezależnych, do zależnych możesz sobie dodawać i dodawać a i tak będą liniowo zależne co za tym idzie nie tworzą mogą tworzyć bazy
17. \(\displaystyle{ dim R_{3}[x]=4}\)
18. dobrze, nie tworzą
Winged
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 16 lis 2012, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 11 razy

Stos bardzo interesujących zadań z podstaw algebry liniowej

Post autor: Winged »

16 "Nie idź tą drogą". Jeżeli przyjmiemy \(\displaystyle{ c=0}\), to czy znajdziemy takie współczynniki \(\displaystyle{ b_i}\), że chociaż jeden z nich jest niezerowy i tamta równość będzie zachodzić? Ja już je gdzieś tu widziałem.
Jeżeli mamy układ liniowo zależny i chcemy uzyskać układ liniowo niezależny, to ostatnia rzecz, która chcemy, to dodać nowy wektor. Żeby uzyskać liniową niezależność musimy się części wektorów pozbyć, a nie dodawać nowe.

19 Kombinacją liniową dowolnego skończonego układu wektorów ze współczynnikami wymiernymi nie jesteśmy w stanie wyrazić wszystkich wektorów. Wymiar jest zatem nieskończony. Istnieją nieprzeliczalne, niezależne liniowo układy w \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) nad \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\). Można dowieść, że istnieje nieprzeliczalna baza tej przestrzeni, przy czym jest to niekonstruktywne, tj. nie potrafimy wskazać explicite przykładu takiej bazy.
Awatar użytkownika
musialmi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3466
Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PWr ocław
Podziękował: 382 razy
Pomógł: 434 razy

Stos bardzo interesujących zadań z podstaw algebry liniowej

Post autor: musialmi »

19. Winged, chyba zrozumiałem, dziękuję.
18. Uważam za rozwiązany.
17. \(\displaystyle{ dim R_{3}[x]=4}\)
No jasne! Rany, co ja w ogóle napisałem w pierwszym poście... yorgin, no właśnie, nie uwzględniłem, dobrze mówisz. To teraz już wiem co mi nie pasuje w moim rozwiązaniu. Niestety nie wiem jak uwzględnić warunek. Jeśli dodamy do siebie dwa równania, otrzymamy (po przekształceniu) \(\displaystyle{ 2ax^{3}+2cx=0}\). Zapewne zbliżyłem się do rozwiązania, ale jeszcze nie wiem jak. Może jutro rano lepiej pomyślę, lub po jakiejś waszej wskazówce...

16. Reasumując, twierdzenie mówi, że każdy układ liniowo niezależny można uzupełnić do bazy. I rozumiem, że można uzupełnić TYLKO układ liniowo niezależny, bo liniowo zależny nigdy nie będzie bazą. Czy dobrze myślę? Wtedy rozwiązanie zadania sprowadza się do sprawdzenia czy układ jest liniowo niezależny.
15. Zrobię tak, jak mówi Arytmetyk. Tak samo 14.

-- 12 mar 2014, o 08:34 --

Jeszcze pytanie, co do 14. Jak brzmi twierdzenie, dzięki któremu wiadomo, że rząd macierzy utworzonej przez wektory odpowiada wymiarowi przestrzeni utworzonej przez wektory? Wychodzi, że dwa, więc moja odpowiedź z pierwszego posta jest poprawna, a na temat bazy również, prawda?-- 13 mar 2014, o 13:53 --Podbijam.
ODPOWIEDZ