Dwa zadanka o liniowej niezależności

[musialmi]

Czy wektor \(\displaystyle{ \left( 1;2;1\right)}\) należy do przestrzeni \(\displaystyle{ V=lin\left\{ \left( 0;1;0\right);\left( 1;1;1\right);\left( 1;0;1\right) \right\}}\)?

Moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \left( x;y;z\right)= \alpha\left( 0;1;0\right)+\beta\left( 1;1;1\right)+\gamma\left( 1;0;1\right)=...=\left( \beta+\gamma;\alpha+\beta;\beta+\gamma\right)}\)
Zakładając, że wektor należy do przestrzeni, wynika stąd układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
1= \beta+\gamma\\
2= \alpha+\beta\\
1= \beta+\gamma
\end{cases}}\)
Dwa z tych równań są identyczne, więc zostają nam dwa, z których nie wyznaczy się trzech niewiadomych, więc jedną trzeba potraktować jako parametr. Wtedy układ ma rozwiązania. Oznacza to, że wektor należy do tej przestrzeni.
Czy to zadanie jest dobrze rozwiązane?

Drugie zadanie: Wektory \(\displaystyle{ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}, \vec{z}}\) są liniowo niezależne. Zbadać liniową niezależność wektorów:
\(\displaystyle{ \vec{a}= \vec{u} - \vec{z}}\)
\(\displaystyle{ \vec{b}= \vec{v}- \vec{z}}\)
\(\displaystyle{ \vec{c}= \vec{u}- \vec{v} +\vec{w} - \vec{z}}\)
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma\vec{c}=\alpha\left(\vec{u}-\vec{z}\right)+\beta\left(\vec{v}-\vec{z}\right)+\gamma\left(\vec{u}-\vec{v}+\vec{w}-\vec{z}\right)=...=\left(\alpha+\gamma\right)\vec{u}+\left(-\alpha-\beta-\gamma\right)\vec{z}+\left(\beta-\gamma\right)\vec{v}+\gamma\vec{w}}\)
Wiemy, że one są liniowo niezależne tylko wtedy, gdy spełnia się układ równań, w którym wszystkie sumy i różnice współczynników przy wektorach równają się zero. Układ się spełnia (wszystkie te współczynniki oznaczone greckimi literami są zerami). Zatem wektory a, b, c są liniowo niezależne.
Czy to jest dobrze rozwiązane?

[miodzio1988]

zad 1 ok, ale warto podać jedno konkretne rozwiązanie i pokazać tym samym, że nalezy do danej przestrzeni

zad 2 moze byc, mozna bylo to bardziej formalnie zapisac

[musialmi]

Dziękuję. Co do drugiego, to zapis jest taki tylko na potrzeby forum (szybciej napisać tekstowo niż w Latexu).