Niech \(\displaystyle{ f, g}\) będą endomorfizmami skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej V nad C. Wykzać, że jesli \(\displaystyle{ f i g}\) są przemienne tzn. \(\displaystyle{ f \cdot g = g \cdot f}\) to każda podprzestrzen własna \(\displaystyle{ f}\) niezmiennicza dla \(\displaystyle{ g}\) tzn. \(\displaystyle{ g}\) przekształca tę podprzestrzeń w siebie.
Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ { f_{i}}}\) jest zbiorem endomorfizmów \(\displaystyle{ V}\) takim, że każde dwa są przemien- ne to mają one wspólny wektor własny ( ale być może z różnymi wartościami własnymi.)
Endomorfizmy przemienne
-
Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
Endomorfizmy przemienne
Załóżmy, że \(\displaystyle{ f(v) = \lambda v}\) dla pewnej liczby zespolonej \(\displaystyle{ \lambda}\). Mamy
\(\displaystyle{ g(f(v))=g(\lambda v) = \lambda g(v).}\)
Ponieważ
\(\displaystyle{ g(f(v)) = f(g(v))}\)
mamy
\(\displaystyle{ f(g(v)) = \lambda g(v)}\).
Stąd \(\displaystyle{ g(v)}\) jest wektorem własnym \(\displaystyle{ f}\) o wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda}\), gdy tylko \(\displaystyle{ g(v)\neq 0}\).
Pokazaliśmy więc, że \(\displaystyle{ g}\) działa niezmienniczo na przestrzeni wektorów własnych \(\displaystyle{ f}\) odpowiadających \(\displaystyle{ \lambda}\).
Teraz druga część. Wystarczy to pokazać dla komutujących \(\displaystyle{ f_1}\) i \(\displaystyle{ f_2}\). Niech \(\displaystyle{ \lambda}\) będzie wartością własną \(\displaystyle{ f_2}\) oraz niech \(\displaystyle{ X}\) będzie odpowiadającą jej podprzestrzenią własną. Z części pierwszej wynika, iż \(\displaystyle{ f_1(X)\subseteq X}\). Wynika stąd, że \(\displaystyle{ f_1}\) ma wektor własny \(\displaystyle{ v}\) (który jest przecież również wektorem własnym \(\displaystyle{ f_2}\)). \(\displaystyle{ \square}\)
\(\displaystyle{ g(f(v))=g(\lambda v) = \lambda g(v).}\)
Ponieważ
\(\displaystyle{ g(f(v)) = f(g(v))}\)
mamy
\(\displaystyle{ f(g(v)) = \lambda g(v)}\).
Stąd \(\displaystyle{ g(v)}\) jest wektorem własnym \(\displaystyle{ f}\) o wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda}\), gdy tylko \(\displaystyle{ g(v)\neq 0}\).
Pokazaliśmy więc, że \(\displaystyle{ g}\) działa niezmienniczo na przestrzeni wektorów własnych \(\displaystyle{ f}\) odpowiadających \(\displaystyle{ \lambda}\).
Teraz druga część. Wystarczy to pokazać dla komutujących \(\displaystyle{ f_1}\) i \(\displaystyle{ f_2}\). Niech \(\displaystyle{ \lambda}\) będzie wartością własną \(\displaystyle{ f_2}\) oraz niech \(\displaystyle{ X}\) będzie odpowiadającą jej podprzestrzenią własną. Z części pierwszej wynika, iż \(\displaystyle{ f_1(X)\subseteq X}\). Wynika stąd, że \(\displaystyle{ f_1}\) ma wektor własny \(\displaystyle{ v}\) (który jest przecież również wektorem własnym \(\displaystyle{ f_2}\)). \(\displaystyle{ \square}\)