Układ równań liniowych z parametrami

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Oti
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 2 mar 2014, o 14:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Układ równań liniowych z parametrami

Post autor: Oti »

Witam. : )

Mam problem z poniższym zadaniem(tzn. udało mi się uzyskać rozwiązanie, ale nie jestem pewien czy poprawne):

Dla jakiego m układ równań będzie zależny od 3 parametrów?
\(\displaystyle{ \begin{cases}-x _{1}-5x _{3}-2x _{4}-3x _{5}=0 \\
x _{1}+(m+1)x _{2} +5x _{3}+(m-1)x _{4}+mx _{5}=0\\
x _{1}+x _{2}+5x _{3}+x _{4}+2x _{5}=0\end{cases}}\)


Próbowałem to rozwiązać w ten sposób-zapisałem to w formie macierzowej:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -1&0&-5&-2&-3\\1&(m+1)&5&(m-1)&m\\1&1&5&1&-3 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x _{1}\\ x _{2}\\ x _{3}\\ x _{4}\\ x _{5} \end{bmatrix}=
\begin{bmatrix} 0\\0\\0 \end{bmatrix}}\)

Później wydzieliłem pierwszą i trzecią kolumnę do osobnej macierzy i przerzuciłem na drugą stronę:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&-2&-3\\(m+1)&(m-1)&m\\1&1&-3 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x _{2}\\ x _{4}\\ x _{5} \end{bmatrix}=
\begin{bmatrix} 1&5&0\\-1&-5&0\\-1&-5&0 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x _{1}\\ x _{3}\\ x _{0} \end{bmatrix}}\)

Przyjąłem, że \(\displaystyle{ x _{1}=t, x _{3}=u}\), przemnożyłem macierz po prawej i zapisałem to w takiej postaci:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&-2&-3\\(m+1)&(m-1)&m\\1&1&-3 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x _{2}\\ x _{4}\\ x _{5} \end{bmatrix}=
\begin{bmatrix} t+5u\\-t-5u\\-t-5u \end{bmatrix}}\)

Z twierdzenia jakiegoś bardzo mądrego człowieka wynika, że aby układ zależał od 3 parametrów, rząd macierzy musi w tym przypadku wynosić 2, więc obliczyłem wyznacznik pierwszej macierzy(musi być równy zero by rząd nie wynosił 3):
\(\displaystyle{ det A=-8-12 \\
det A = 0 \iff m=- \frac{3}{2}}\)

I dla takiego m jest już wyznacznik 2x2, więc rząd macierzy wynosi 2. Czy to jest już rozwiązanie? Czy muszę porównywać to do rzędu macierzy dołączonej? Albo coś jeszcze zrobić?

Może głupio się pytam, ale pierwszy raz robię takie zadanie-nie wiem czy dobrze rozumuję. Z góry dziękuję za pomoc i wszelkie uwagi.
ODPOWIEDZ