wartości własne

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
MikolajB
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 5 lis 2012, o 10:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 8 razy

wartości własne

Post autor: MikolajB »

Jak udowodnić, że wartości właśne \(\displaystyle{ \lambda _{1},...,\lambda _{s}}\) macierzy odwrotnej \(\displaystyle{ A ^{-1}}\) , są odwrotnościami wartości własnych macierzy \(\displaystyle{ A}\), tj.: \(\displaystyle{ \alpha _{1},...,\alpha _{s}}\) ?

Jak wartości własne wyglądają dla macierzy \(\displaystyle{ A ^{2}}\)?
Ostatnio zmieniony 8 mar 2014, o 11:05 przez yorgin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

wartości własne

Post autor: yorgin »

Gdy \(\displaystyle{ \lambda_i}\) jest wartością własną \(\displaystyle{ A}\), to istnieje \(\displaystyle{ x_i\neq 0}\) takie, że

\(\displaystyle{ Ax_i=\lambda_i x_i}\)

Podziel to przez \(\displaystyle{ \lambda_i}\) i pomnóż przez macierz odwrotną do \(\displaystyle{ A}\).


Co do drugiego - policz \(\displaystyle{ A^2 x}\), jeżeli \(\displaystyle{ x}\) jest wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda}\).
MikolajB
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 5 lis 2012, o 10:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 8 razy

wartości własne

Post autor: MikolajB »

Czyli do pierwszego:

\(\displaystyle{ Ax _{i}= \lambda _{i}x _{i} \\
A ^{-1} \cdot Ax _{i}= \lambda _{i}x _{i} \cdot A ^{-1} \\
x _{i}= \lambda _{i}x _{i} \cdot A ^{-1} \\
\left( \frac{1}{ \lambda _{i}} \right) x _{i}=x _{i} \cdot A ^{-1}}\)


A do drugiego:

\(\displaystyle{ Ax _{i}= \lambda _{i}x _{i} \\
A \cdot Ax _{i}= \lambda _{i}x _{i} \cdot A \\
A ^{2}x _{i}= \lambda _{i} \cdot \lambda _{i} \cdot x _{i} \\
A ^{2}x _{i}= \lambda _{i} ^{2} \cdot x _{i}}\)


o to chodziło?
Ostatnio zmieniony 17 mar 2014, o 23:35 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

wartości własne

Post autor: yorgin »

Mniej więcej, ale mnożenie nie jest przemienne więc nie możesz mnożyć byle jak. Skąd w ogóle pewność, że \(\displaystyle{ xA}\) ma sens?
MikolajB
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 5 lis 2012, o 10:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 8 razy

wartości własne

Post autor: MikolajB »

to może w tym drugim:

najpierw równanie wyjściowe podzielić przez \(\displaystyle{ \lambda _{i}}\), potem pomnożyć stronami przez \(\displaystyle{ A}\), dostanę:

\(\displaystyle{ \frac{A \cdot Ax _{i}}{\lambda _{i}}= Ax _{i}}\), z tego dostaję:
\(\displaystyle{ \frac{A ^{2}x _{i}}{\lambda _{i}}= \lambda _{i}x _{i}}\), mnożę przez \(\displaystyle{ \lambda _{i}}\) i koniec.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

wartości własne

Post autor: yorgin »

A skąd masz pewność, że \(\displaystyle{ \lambda_i=\neq 0}\)? Innymi słowy, co w przypadku, gdy \(\displaystyle{ \lambda_i=0}\) ?
MikolajB
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 5 lis 2012, o 10:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 8 razy

wartości własne

Post autor: MikolajB »

zatem lepiej nie dzielić przez \(\displaystyle{ \lambda _{i}}\) czy rozpatrywać przypadki?
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

wartości własne

Post autor: yorgin »

Zdecydowanie lepiej nie dzielić.

Przypadków nie musisz rozważać, gdy policzysz wyrażenie \(\displaystyle{ A^2x}\), o którym pisałem w pierwszym swoim poście w tym temacie.
MikolajB
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 5 lis 2012, o 10:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 8 razy

wartości własne

Post autor: MikolajB »

No to:

\(\displaystyle{ A \cdot x _{i} = \lambda _{i} \cdot x _{i}}\)

\(\displaystyle{ A \cdot \lambda _{i} \cdot x _{i} = \lambda _{i} \cdot x _{i} \cdot \lambda _{i}}\)

\(\displaystyle{ A \cdot \lambda _{i} \cdot x _{i} = \lambda _{i} ^{2} \cdot x _{i}}\)

\(\displaystyle{ A ^{2} \cdot x _{i} = \lambda _{i} ^{2} \cdot x _{i}}\)
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

wartości własne

Post autor: yorgin »

Jest ok. Na sprawdzianie/egzaminie warto dodać słowny komentarz, skąd wnioskujesz ostatnią linijkę.
MikolajB
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 5 lis 2012, o 10:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 8 razy

wartości własne

Post autor: MikolajB »

super, dzieki, a jeszcze powiedz mi dlaczego w drugim przykładzie radziłeś unikać dzielenia przez \(\displaystyle{ \lambda _{i}}\), kiedy w tej pierwszej części z macierzą odwrotną właśnie takie rozwiązanie zaproponowałeś?
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

wartości własne

Post autor: yorgin »

W pierwszej części masz założenie, że istnieje macierz odwrotna. A zatem musi mieć ona wszystkie wartości własne niezerowe. Stąd w ogóle nie musimy rozważać zerowych wartości własnych.

W drugiej części nie jest nigdzie napisane, że \(\displaystyle{ A}\) musi być odwracalna. Stąd zerowa wartość własna może się pojawić i należy to uwzględnić odpowiednio w dowodzie. Albo przeprowadzić dowód tak, by działał niezależnie od tego, czy jest to zero, czy go nie ma.
krl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 609
Rejestracja: 10 lis 2009, o 22:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 135 razy

wartości własne

Post autor: krl »

Weźmy np. macierz \(\displaystyle{ A}\) obrotu liniowego płaszczyzny o kąt 90 stopni. \(\displaystyle{ A}\) nie ma wartości własnych, a \(\displaystyle{ A^2}\) ma, jest wręcz diagonalna. Obie są odwracalne.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

wartości własne

Post autor: yorgin »

krl pisze:Weźmy np. macierz \(\displaystyle{ A}\) obrotu liniowego płaszczyzny o kąt 90 stopni. \(\displaystyle{ A}\) nie ma wartości własnych, a \(\displaystyle{ A^2}\) ma, jest wręcz diagonalna. Obie są odwracalne.
Czemu ma służyć ta wypowiedź? Macierz obrotu o kąt \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) jest macierzą diagonalną w tym sensie, że jest zespoloną klatką Jordana. Jej wartości własne to \(\displaystyle{ i}\) oraz \(\displaystyle{ -i}\).
krl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 609
Rejestracja: 10 lis 2009, o 22:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 135 razy

wartości własne

Post autor: krl »

@yorgin: Ta wypowiedź ma służyć lepszemu zrozumieniu przez MikołajaB sytuacji w pytaniu 2.
ODPOWIEDZ