wartości własne
-
- Użytkownik
- Posty: 94
- Rejestracja: 5 lis 2012, o 10:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 8 razy
wartości własne
Jak udowodnić, że wartości właśne \(\displaystyle{ \lambda _{1},...,\lambda _{s}}\) macierzy odwrotnej \(\displaystyle{ A ^{-1}}\) , są odwrotnościami wartości własnych macierzy \(\displaystyle{ A}\), tj.: \(\displaystyle{ \alpha _{1},...,\alpha _{s}}\) ?
Jak wartości własne wyglądają dla macierzy \(\displaystyle{ A ^{2}}\)?
Jak wartości własne wyglądają dla macierzy \(\displaystyle{ A ^{2}}\)?
Ostatnio zmieniony 8 mar 2014, o 11:05 przez yorgin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
wartości własne
Gdy \(\displaystyle{ \lambda_i}\) jest wartością własną \(\displaystyle{ A}\), to istnieje \(\displaystyle{ x_i\neq 0}\) takie, że
\(\displaystyle{ Ax_i=\lambda_i x_i}\)
Podziel to przez \(\displaystyle{ \lambda_i}\) i pomnóż przez macierz odwrotną do \(\displaystyle{ A}\).
Co do drugiego - policz \(\displaystyle{ A^2 x}\), jeżeli \(\displaystyle{ x}\) jest wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda}\).
\(\displaystyle{ Ax_i=\lambda_i x_i}\)
Podziel to przez \(\displaystyle{ \lambda_i}\) i pomnóż przez macierz odwrotną do \(\displaystyle{ A}\).
Co do drugiego - policz \(\displaystyle{ A^2 x}\), jeżeli \(\displaystyle{ x}\) jest wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 94
- Rejestracja: 5 lis 2012, o 10:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 8 razy
wartości własne
Czyli do pierwszego:
\(\displaystyle{ Ax _{i}= \lambda _{i}x _{i} \\
A ^{-1} \cdot Ax _{i}= \lambda _{i}x _{i} \cdot A ^{-1} \\
x _{i}= \lambda _{i}x _{i} \cdot A ^{-1} \\
\left( \frac{1}{ \lambda _{i}} \right) x _{i}=x _{i} \cdot A ^{-1}}\)
A do drugiego:
\(\displaystyle{ Ax _{i}= \lambda _{i}x _{i} \\
A \cdot Ax _{i}= \lambda _{i}x _{i} \cdot A \\
A ^{2}x _{i}= \lambda _{i} \cdot \lambda _{i} \cdot x _{i} \\
A ^{2}x _{i}= \lambda _{i} ^{2} \cdot x _{i}}\)
o to chodziło?
\(\displaystyle{ Ax _{i}= \lambda _{i}x _{i} \\
A ^{-1} \cdot Ax _{i}= \lambda _{i}x _{i} \cdot A ^{-1} \\
x _{i}= \lambda _{i}x _{i} \cdot A ^{-1} \\
\left( \frac{1}{ \lambda _{i}} \right) x _{i}=x _{i} \cdot A ^{-1}}\)
A do drugiego:
\(\displaystyle{ Ax _{i}= \lambda _{i}x _{i} \\
A \cdot Ax _{i}= \lambda _{i}x _{i} \cdot A \\
A ^{2}x _{i}= \lambda _{i} \cdot \lambda _{i} \cdot x _{i} \\
A ^{2}x _{i}= \lambda _{i} ^{2} \cdot x _{i}}\)
o to chodziło?
Ostatnio zmieniony 17 mar 2014, o 23:35 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
wartości własne
Mniej więcej, ale mnożenie nie jest przemienne więc nie możesz mnożyć byle jak. Skąd w ogóle pewność, że \(\displaystyle{ xA}\) ma sens?
-
- Użytkownik
- Posty: 94
- Rejestracja: 5 lis 2012, o 10:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 8 razy
wartości własne
to może w tym drugim:
najpierw równanie wyjściowe podzielić przez \(\displaystyle{ \lambda _{i}}\), potem pomnożyć stronami przez \(\displaystyle{ A}\), dostanę:
\(\displaystyle{ \frac{A \cdot Ax _{i}}{\lambda _{i}}= Ax _{i}}\), z tego dostaję:
\(\displaystyle{ \frac{A ^{2}x _{i}}{\lambda _{i}}= \lambda _{i}x _{i}}\), mnożę przez \(\displaystyle{ \lambda _{i}}\) i koniec.
najpierw równanie wyjściowe podzielić przez \(\displaystyle{ \lambda _{i}}\), potem pomnożyć stronami przez \(\displaystyle{ A}\), dostanę:
\(\displaystyle{ \frac{A \cdot Ax _{i}}{\lambda _{i}}= Ax _{i}}\), z tego dostaję:
\(\displaystyle{ \frac{A ^{2}x _{i}}{\lambda _{i}}= \lambda _{i}x _{i}}\), mnożę przez \(\displaystyle{ \lambda _{i}}\) i koniec.
-
- Użytkownik
- Posty: 94
- Rejestracja: 5 lis 2012, o 10:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 8 razy
wartości własne
zatem lepiej nie dzielić przez \(\displaystyle{ \lambda _{i}}\) czy rozpatrywać przypadki?
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
wartości własne
Zdecydowanie lepiej nie dzielić.
Przypadków nie musisz rozważać, gdy policzysz wyrażenie \(\displaystyle{ A^2x}\), o którym pisałem w pierwszym swoim poście w tym temacie.
Przypadków nie musisz rozważać, gdy policzysz wyrażenie \(\displaystyle{ A^2x}\), o którym pisałem w pierwszym swoim poście w tym temacie.
-
- Użytkownik
- Posty: 94
- Rejestracja: 5 lis 2012, o 10:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 8 razy
wartości własne
No to:
\(\displaystyle{ A \cdot x _{i} = \lambda _{i} \cdot x _{i}}\)
\(\displaystyle{ A \cdot \lambda _{i} \cdot x _{i} = \lambda _{i} \cdot x _{i} \cdot \lambda _{i}}\)
\(\displaystyle{ A \cdot \lambda _{i} \cdot x _{i} = \lambda _{i} ^{2} \cdot x _{i}}\)
\(\displaystyle{ A ^{2} \cdot x _{i} = \lambda _{i} ^{2} \cdot x _{i}}\)
\(\displaystyle{ A \cdot x _{i} = \lambda _{i} \cdot x _{i}}\)
\(\displaystyle{ A \cdot \lambda _{i} \cdot x _{i} = \lambda _{i} \cdot x _{i} \cdot \lambda _{i}}\)
\(\displaystyle{ A \cdot \lambda _{i} \cdot x _{i} = \lambda _{i} ^{2} \cdot x _{i}}\)
\(\displaystyle{ A ^{2} \cdot x _{i} = \lambda _{i} ^{2} \cdot x _{i}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 94
- Rejestracja: 5 lis 2012, o 10:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 8 razy
wartości własne
super, dzieki, a jeszcze powiedz mi dlaczego w drugim przykładzie radziłeś unikać dzielenia przez \(\displaystyle{ \lambda _{i}}\), kiedy w tej pierwszej części z macierzą odwrotną właśnie takie rozwiązanie zaproponowałeś?
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
wartości własne
W pierwszej części masz założenie, że istnieje macierz odwrotna. A zatem musi mieć ona wszystkie wartości własne niezerowe. Stąd w ogóle nie musimy rozważać zerowych wartości własnych.
W drugiej części nie jest nigdzie napisane, że \(\displaystyle{ A}\) musi być odwracalna. Stąd zerowa wartość własna może się pojawić i należy to uwzględnić odpowiednio w dowodzie. Albo przeprowadzić dowód tak, by działał niezależnie od tego, czy jest to zero, czy go nie ma.
W drugiej części nie jest nigdzie napisane, że \(\displaystyle{ A}\) musi być odwracalna. Stąd zerowa wartość własna może się pojawić i należy to uwzględnić odpowiednio w dowodzie. Albo przeprowadzić dowód tak, by działał niezależnie od tego, czy jest to zero, czy go nie ma.
-
- Użytkownik
- Posty: 609
- Rejestracja: 10 lis 2009, o 22:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 135 razy
wartości własne
Weźmy np. macierz \(\displaystyle{ A}\) obrotu liniowego płaszczyzny o kąt 90 stopni. \(\displaystyle{ A}\) nie ma wartości własnych, a \(\displaystyle{ A^2}\) ma, jest wręcz diagonalna. Obie są odwracalne.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
wartości własne
Czemu ma służyć ta wypowiedź? Macierz obrotu o kąt \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) jest macierzą diagonalną w tym sensie, że jest zespoloną klatką Jordana. Jej wartości własne to \(\displaystyle{ i}\) oraz \(\displaystyle{ -i}\).krl pisze:Weźmy np. macierz \(\displaystyle{ A}\) obrotu liniowego płaszczyzny o kąt 90 stopni. \(\displaystyle{ A}\) nie ma wartości własnych, a \(\displaystyle{ A^2}\) ma, jest wręcz diagonalna. Obie są odwracalne.
-
- Użytkownik
- Posty: 609
- Rejestracja: 10 lis 2009, o 22:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 135 razy
wartości własne
@yorgin: Ta wypowiedź ma służyć lepszemu zrozumieniu przez MikołajaB sytuacji w pytaniu 2.