Wyznacznik macierzy 4 topnia

kawunia · Post autor: **kawunia** » 9 maja 2007, o 13:17

Bardzo proszę o podanie samego wyniku wyznacznika macierzy bo znowu mam inny wynik niż w ksiażce

C= \(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cccc}1&-3&5&1\\-1&2&-1&-1\\3&4&0&3\\7&-2&-3&7\end{array}\right|}\)

mi wyszło ze det C= 3 a w książce jest równe 0.

Obliczenie wykonałam rozwijając wyznacznik według trzeciego wiersza.

Hac_mi; · Post autor: **Hac_mi;** » 9 maja 2007, o 13:19

mi też wyszło 0 ale nie wiem czy dobrze

kuch2r · Post autor: **kuch2r** » 9 maja 2007, o 13:29

wynik poprawny to 0.
Zauwaz, ze kolumny 1 i 4 sa takie same.

kawunia · Post autor: **kawunia** » 9 maja 2007, o 13:50

no są takie same? i jaki to ma wpływ że są takie same na wyznacznik macierzy bo ja nie wiem? i jakim sposobem liczyliście wyznacznik?

moje rozwiązanie wygląda nastepująco:

detC= \(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cccc}1&-3&5&1\\-1&2&-1&-1\\3&4&0&3\\7&-2&-3&7\end{array}\right|}\)= 3• \(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}-3&5&1\\2&-1&-1\\-2&-3&7\end{array}\right|}\) - 4• \(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}1&5&1\\-1&-1&-1\\7&-3&7\end{array}\right|}\) + 0• \(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}1&-3&1\\-1&2&-1\\7&-2&7\end{array}\right|}\) - 3• \(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}1&-3&5\\-1&2&-1\\7&-2&-3\end{array}\right|}\)=

= 3•(-3)\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cc}-1&-1\\-3&7\end{array}\right|}\)- 3•5 \(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cc}2&-1\\-2&7\end{array}\right|}\) + 3•1\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cc}2&-1\\-2&-3\end{array}\right|}\) - 4•1 \(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cc}-1&-1\\-3&7\end{array}\right|}\) + 4•5 \(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cc}-1&-1\\7&7\end{array}\right|}\) - 4•1\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cc}-1&-1\\7&-3\end{array}\right|}\) - 3•1\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cc}2&-1\\-2&-3\end{array}\right|}\) + 3•(-3)\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cc}-1&-1\\7&-3\end{array}\right|}\) - 3•5\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cc}-1&2\\7&-2\end{array}\right|}\)=

= -9(-7-3) - 15(14-2)+3(-6-2)-4(-7-3)+20(-7+7)-4(3+7)-3(-6-3)-9(3+7)-15(2-14)= 90-180+24+40-40+27-90+180=3
Więc tak wygląda moje rozwiązanie- gdzie jest błąd - proszę o wskazanie

micholak · Post autor: **micholak** » 9 maja 2007, o 14:29

-3(-6-3) tu jest zle przepisane porownaj z tym czemu to odpowiada

PS na przyszlosc wykonaj kilka operacji wierszowych badz kolumnowych przed rozwijaniem bo liczyc cos takiego to masakra...

A jesli dwa wiersze badz kolumny sa takie same to wyznacznik jest zero, albo z definicji albo jako dosc trywialny wniosek, zalezy jak byl definiowany wyznacznik

kawunia · Post autor: **kawunia** » 9 maja 2007, o 14:33

acha, teraz widze tam w nawiasie ma być plus

ps. tak nas uczono - nie wiem jak inaczej to obliczyć żeby było prościej

Lukasz_C747 · Post autor: **Lukasz_C747** » 10 maja 2007, o 18:46

-9(-7-3) - 15(14-2)+3(-6-2)-4(-7-3)+20(-7+7)-4(3+7)-3(-6-2)-9(3+7)-15(2-14) = 90-180-24+40-40+24-90+180=0

Ponadto jeśli co najmniej jedna kolumna/wiersz się zerują wyznacznik lub co najmniej dwie kolumny/wiersze są takie same, to wyznacznik jest równy zero.
Co do metody liczenia to polecam poszukać reguły Sarussa dla wyznaczników 3 stopnia, a i operacji na wierszach/kolumnach wyznacznika też by się przydały.

Amon-Ra · Post autor: **Amon-Ra** » 18 maja 2007, o 18:11

Najszybciej jest korzystać z faktu, że dodanie lub odjęcie od jakiegokolwiek wiersza lub kolumny kombinacji liniowej pozostałych wierszy lub kolumn nie zmienia wartości wyznacznika. Odpowiedź w tym wypadku jest natychmiastowa - wystarczy od pierwszej kolumny odjąć ostatnią, aby otrzymać kolumnę zer, co natychmiastowo determinuje takąż wartość całego wyznacznika.

kijek22 · Post autor: **kijek22** » 18 maja 2007, o 21:08

nie będę zaczynał nowego tematu, wiec doklejam do tego.
bardzo proszę o wyjaśnienie tak na chłopski rozum jak obliczyć wyznacznik macierzy. myślę ze dobra wytłumaczenie przyda sie nie tylko mnie . dzięki,

C= \(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cccc}1&0&0&4\\1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&1\end{array}\right|}\)

Amon-Ra · Post autor: **Amon-Ra** » 18 maja 2007, o 23:37

Możesz od razu skorzystać z tzw. rozwinięcia Laplace'a - zauważmy, iż tak w drugiej, jak i w trzeciej kolumnie masz tylko jedną jedynkę, poza nią same zera. Wykreślamy zatem tę kolumnę i wiersz, w którym jest jedynka. Pozostanie wyznacznik następujący:

\(\displaystyle{ (-1)^{3+2} \left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right|=-(4-2)=-2}\)

Do obliczenia wyznacznika 3 stopnia też możnaby wykorzystać rozwinięcie Laplace'a, ale nie jest to tutaj potrzebne, gdyż jest tu kilka zer, które upraszczają klasyczne obliczenie wyznacznika metodą Sarrusa.