Proszę o pomoc albo jakieś wskazówki, nie wiem jak udowodnić następujące zadania:
1)Udowodnić, że dla dowolnych endomorfizmów \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\) skończenie wymiarowej przestrzeni zachodzi równość \(\displaystyle{ \mbox{tr}(\beta\circ\alpha)=\mbox{tr}(\alpha\circ\beta)}\)
2)Niech \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\) będą endomorfizmami skończenie wymiarowej przestrzeni \(\displaystyle{ V}\). Udowodnić, że wielomiany chakterystyczne endomorfizmów \(\displaystyle{ \beta\circ\alpha}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha\circ\beta}\) są równe.
Z góry dziękuję za pomoc
ślad i wielomian charakterystyczny endomorfizmu-dowody
-
- Użytkownik
- Posty: 230
- Rejestracja: 5 mar 2014, o 18:52
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 60 razy
ślad i wielomian charakterystyczny endomorfizmu-dowody
Ostatnio zmieniony 5 mar 2014, o 21:10 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
- Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
ślad i wielomian charakterystyczny endomorfizmu-dowody
1. Przedstaw \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) jako macierze w ustalonej bazie. Wówczas
\(\displaystyle{ \mbox{tr}(\alpha\beta) = \sum_{i=1}^n \left(\alpha\beta\right)_{ii} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \beta_{ji} = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n \beta_{ji} \alpha_{ij} = \sum_{j=1}^n \left(\beta\alpha\right)_{jj} = \mbox{tr}(\beta\alpha).}\)
\(\displaystyle{ \mbox{tr}(\alpha\beta) = \sum_{i=1}^n \left(\alpha\beta\right)_{ii} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \beta_{ji} = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n \beta_{ji} \alpha_{ij} = \sum_{j=1}^n \left(\beta\alpha\right)_{jj} = \mbox{tr}(\beta\alpha).}\)