ślad i wielomian charakterystyczny endomorfizmu-dowody

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
aGabi94
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 230
Rejestracja: 5 mar 2014, o 18:52
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 60 razy

ślad i wielomian charakterystyczny endomorfizmu-dowody

Post autor: aGabi94 »

Proszę o pomoc albo jakieś wskazówki, nie wiem jak udowodnić następujące zadania:

1)Udowodnić, że dla dowolnych endomorfizmów \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\) skończenie wymiarowej przestrzeni zachodzi równość \(\displaystyle{ \mbox{tr}(\beta\circ\alpha)=\mbox{tr}(\alpha\circ\beta)}\)

2)Niech \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\) będą endomorfizmami skończenie wymiarowej przestrzeni \(\displaystyle{ V}\). Udowodnić, że wielomiany chakterystyczne endomorfizmów \(\displaystyle{ \beta\circ\alpha}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha\circ\beta}\) są równe.

Z góry dziękuję za pomoc
Ostatnio zmieniony 5 mar 2014, o 21:10 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Awatar użytkownika
Spektralny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3976
Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 929 razy

ślad i wielomian charakterystyczny endomorfizmu-dowody

Post autor: Spektralny »

1. Przedstaw \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) jako macierze w ustalonej bazie. Wówczas

\(\displaystyle{ \mbox{tr}(\alpha\beta) = \sum_{i=1}^n \left(\alpha\beta\right)_{ii} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \beta_{ji} = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n \beta_{ji} \alpha_{ij} = \sum_{j=1}^n \left(\beta\alpha\right)_{jj} = \mbox{tr}(\beta\alpha).}\)
aGabi94
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 230
Rejestracja: 5 mar 2014, o 18:52
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 60 razy

ślad i wielomian charakterystyczny endomorfizmu-dowody

Post autor: aGabi94 »

Dziękuję bardzo za rozwiązanie
ODPOWIEDZ