Wyznaczyć macierze przejścia pomiędzy bazami

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
lukasz1143
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 7 lis 2013, o 22:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wroclaw
Podziękował: 21 razy

Wyznaczyć macierze przejścia pomiędzy bazami

Post autor: lukasz1143 »

W przestrzeni kartezjańskiej \(\displaystyle{ R^{2}}\) są zadane trzy bazy
\(\displaystyle{ A=}\)Baza standardowa
\(\displaystyle{ B=\left\{ \left( 1,-1\right),\left( 1,1\right) \right\}}\)
\(\displaystyle{ C=\left\{ \left( -1,2\right),\left( -2,2\right) \right\}}\)

Muszę się przyznać że nie mam zielonego pojęcia jak się za to zabrać.
Marmat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 164
Rejestracja: 25 lip 2006, o 22:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 36 razy

Wyznaczyć macierze przejścia pomiędzy bazami

Post autor: Marmat »

Macierzą przejścia P od bazy A do bazy B nazywamy macierz odwzorowania identycznościowego przestrzeni X w siebie wyjściowo traktowanej z bazą B a docelowo z bazą A.
\(\displaystyle{ f=id_X: X_B \rightarrow X_A}\)
Pierwszą kolumnę macierzy przejścia stanowią współrzędne pierwszego wektora nowe bazy B względem starej bazy A.
Teraz konkretnie.
Najłatwiej znaleźć współrzędne macierzy P przejścia z bazy kanonicznej A do baz B i C.
Szukam macierzy przejścia z macierzy A do macierzy B.
Biorę pierwszy wektor bazy B: (1,-1).
\(\displaystyle{ f((1,-1))=((1,-1)=p_{11}(1,0)+p_{21}(0,1)=1 * ((1,0)-1 * (0,1)}\)
I tak samo dla drugiego wektora:
\(\displaystyle{ f((1,1))=((1,1)=p_{21}(1,0)+p_{22}(0,1)=1 * ((1,0)+1 * (0,1)}\)
Szukana macierz :
\(\displaystyle{ P=\left[\begin{array}{cc}1&1\\-1&1 \end{array}\right]}\)
Jest to macierz przejścia od macierzy A do B.
Macierz przejścia od B do A to macierz doniej odwrotna :\(\displaystyle{ P^{-1}}\)
2.
Analogicznie macierz K przejścia z A do C.
\(\displaystyle{ f((-1,2))=((-1,2)=k_{11}(1,0)+k_{21}(0,1)=-1 * ((1,0)+2 * (0,1)}\)
\(\displaystyle{ f((-2,2))=((-2,2)=k_{21}(1,0)+k_{22}(0,1)=-2 * (1,0)+2 * (0,1)}\)
Szukana macierz :
\(\displaystyle{ K=\left[\begin{array}{cc}-1&-2\\2&2 \end{array}\right]}\)
Jest to macierz przejścia od macierzy A do C.
Macierz przejścia od C do A to macierz do niej odwrotna :\(\displaystyle{ K^{-1}}\)
3.

Macierz W przejścia z bazy C do bazy B.
\(\displaystyle{ f=id_X: X_B \rightarrow X_C}\)
\(\displaystyle{ f((1,-1))=((1,-1)=w_{11}(-1,2)+w_{21}(-2,2)= \alpha *(-1,2)+ \beta * (-2,2)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} - \alpha - 2 \beta =1\\2 \alpha +2 \beta =-1\end{cases}}\)
Po rozwiązaniu:
\(\displaystyle{ \alpha =w_{11}=0, \\ \beta =w_{21}=- \frac{1}{2}}\)
I druga kolumna:
\(\displaystyle{ f((1,1))=((1,1)=w_{21}(-1,2)+w_{22}(-2,2)= \alpha *(-1,2)+ \beta * (-2,2)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} - \alpha - 2 \beta =1\\2 \alpha +2 \beta =1\end{cases}}\)
Po rozwiązaniu:
\(\displaystyle{ \alpha =w_{21}=2, \\ \beta =w_{22}=- \frac{3}{2}}\)
Szukana macierz :
\(\displaystyle{ W=\left[\begin{array}{cc}0&2\\- \frac{1}{2} &- \frac{3}{2} \end{array}\right]}\)
Jest to macierz przejścia od macierzy Cdo B.
Macierz przejścia od B do C to macierz do niej odwrotna :\(\displaystyle{ W^{-1}}\)
Polecam:

Kod: Zaznacz cały

http://wms.mat.agh.edu.pl/~msekowsk/zmiana_bazy.pdf

Pozdrawiam.
ODPOWIEDZ