Endomorfizm w przestrzeń wielomianów

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Bobi02
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 213
Rejestracja: 6 paź 2013, o 22:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 3 razy

Endomorfizm w przestrzeń wielomianów

Post autor: Bobi02 »

Witam. Mam takie zadanie

\(\displaystyle{ f : R_2[x] \rightarrow R_2[x]}\)

\(\displaystyle{ f(w) = w(1) + w(0)x + w(1)x^2}\)

Czy dobrze wyznaczam jądro i obraz?

Weźmy \(\displaystyle{ w = ax^2 + bx + c}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b,c \in R_2[x]}\)

\(\displaystyle{ f(x) = a+b+c +cx + ax^2 + bx^2 + cx^2 = x^2(a+b+c) +cx + a+b+c}\)

Czyli, \(\displaystyle{ f(x) \equiv 0 \Leftrightarrow a + b + c = 0, c = 0 \Rightarrow a = -b}\), ale nie wiem, co z tym zrobić dalej.

Natomiast obraz przekształcenia : \(\displaystyle{ f(x) = a(x^2 +1) + b(x^2+1) +c(x^2+x+1)}\)

\(\displaystyle{ \Im f = lin\left\{ x^2+1, x^2 +x +1\right\}}\) i wymiar obrazu jest równy dwa, czyli wynikałoby, że wymiar jądra jest zerowy, ale mi się to nie zgadza. W czym jest problem? Oraz jak utworzyć macierz przekształcenia w bazach kanonicznych?
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Endomorfizm w przestrzeń wielomianów

Post autor: »

Bobi02 pisze:wymiar obrazu jest równy dwa, czyli wynikałoby, że wymiar jądra jest zerowy
Nie, przecież przestrzeń ma wymiar równy \(\displaystyle{ 3}\), a nie \(\displaystyle{ 2}\), więc wymiar jądra to \(\displaystyle{ 1}\).

A postać jądra wynika albo z Twoich rachunków - skoro \(\displaystyle{ c=0}\) i \(\displaystyle{ b=-a}\), to w jądrze siedzą wielomiany postaci \(\displaystyle{ ax^2-ax}\); albo też z zauważenia ze wzoru przekształcenia, że na zero przechodzą wielomiany, które zerują się w zerze i jedynce, czyli \(\displaystyle{ ax(x-1)}\).

Q.
Bobi02
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 213
Rejestracja: 6 paź 2013, o 22:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 3 razy

Endomorfizm w przestrzeń wielomianów

Post autor: Bobi02 »

A dalej, czy

\(\displaystyle{ f(1) = x^2 +x +1 \\
f(x) = x^2 +1 \\
f(x^2) = x^2 +1}\)


i macierz przekształcenia w bazach standardowych wygląda tak:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&1\\1&0&0\\1&1&1\end{bmatrix}}\)
ODPOWIEDZ