Przekształcenie liniowe

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Gallu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 58
Rejestracja: 5 maja 2011, o 17:06
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 11 razy

Przekształcenie liniowe

Post autor: Gallu »

Treść zadania:
"O przekształceniu liniowym \(\displaystyle{ T: R ^{2} \rightarrow R ^{5}}\) wiemy, że:
\(\displaystyle{ T(1, 1) = (1, 2, 3, 4, 5)}\) \(\displaystyle{ T(2, -1) = (5, 4, 3, 2, 1)}\)

Jak wyglądają \(\displaystyle{ T(1, 0), T(0, 1)}\) i ogólnie \(\displaystyle{ T(x, y)}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ (x, y) \in R ^{2}}\)?"

Nie rozumiem treści zadania. Podobne zadanie zostało na wykładzie częściowo pokazane (jakoś do połowy) i nie wiem, co mam w nim zrobić. Jakaś podpowiedź?
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Przekształcenie liniowe

Post autor: yorgin »

Gallu pisze: Jak wyglądają \(\displaystyle{ T(1, 0), T(0, 1)}\) i ogólnie \(\displaystyle{ T(x, y)}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ (x, y) \in R ^{2}}\)?"
Przedstaw \(\displaystyle{ (1,0)}\) oraz \(\displaystyle{ (0,1)}\) jako kombinacje liniowe wektorów \(\displaystyle{ (1,1)}\) oraz \(\displaystyle{ (2,-1)}\). Skorzystaj z liniowości \(\displaystyle{ T}\) by wyznaczyć wartości na wektorach \(\displaystyle{ (1,0)}\) oraz \(\displaystyle{ (0,1)}\). Dla policzenia \(\displaystyle{ T(x,y)}\) zauważ, że \(\displaystyle{ T(x,y)=xT(1,0)+yT(0,1)}\).
Awatar użytkownika
Spektralny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3976
Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 929 razy

Przekształcenie liniowe

Post autor: Spektralny »

Czego nie rozumiesz w treści zadania konkretnie? Przekształcenie liniowe jest jednoznacznie wyznaczone przez swoje wartości na dowolnej bazie dziedziny. Tutaj niewątpliwie \(\displaystyle{ \{(1,1), (2,-1)\}}\) jest bazą. Dla \(\displaystyle{ (x,y)\in \mathbb{R}^2}\) znajdź takie \(\displaystyle{ a,b}\), że

\(\displaystyle{ (x,y) = a(1,1) + b(2,-1)}\).

Wówczas

\(\displaystyle{ T(x,y) = a (1,2,3,4,5) + b(5,4,3,2,1)}\).
ODPOWIEDZ