domkniecie liniowe
- waliant
- Użytkownik
- Posty: 1801
- Rejestracja: 9 gru 2010, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 275 razy
- Pomógł: 183 razy
domkniecie liniowe
Mam takie pytanie, bo chyba nie za bardzo rozumiem całą istotę,
mianowicie dlaczego jeśli \(\displaystyle{ lin\left\{ u,v\right\}=lin\left\{ u,v,w\right\}}\) , to \(\displaystyle{ w \in lin\left\{ u,v\right\}}\) ?
Dążę do tego, aby pokazać, że gdy zachodzi \(\displaystyle{ lin\left\{ u,v\right\}=lin\left\{ u,v,w\right\}}\) to \(\displaystyle{ u,v,w}\) są liniowo zależne.
mianowicie dlaczego jeśli \(\displaystyle{ lin\left\{ u,v\right\}=lin\left\{ u,v,w\right\}}\) , to \(\displaystyle{ w \in lin\left\{ u,v\right\}}\) ?
Dążę do tego, aby pokazać, że gdy zachodzi \(\displaystyle{ lin\left\{ u,v\right\}=lin\left\{ u,v,w\right\}}\) to \(\displaystyle{ u,v,w}\) są liniowo zależne.
- waliant
- Użytkownik
- Posty: 1801
- Rejestracja: 9 gru 2010, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 275 razy
- Pomógł: 183 razy
domkniecie liniowe
Idąc dalej \(\displaystyle{ w \in lin\left\{ u,v\right\} \Rightarrow \exists \alpha , \beta \neq 0 : w= \alpha u + \beta v \Rightarrow \left( u,v,w\right)}\) są liniowo zależne. Jest ok?
Dowód w drugą stronę:
Zał. że \(\displaystyle{ u,v,w}\) są liniowo zależne, tzn. \(\displaystyle{ w= \alpha u + \beta v \Rightarrow w \in lin\left\{ u,v\right\}}\).
I nie wiem jak mam dalej dojść do tego, że \(\displaystyle{ lin\left\{ u,v\right\}=lin\left\{ u,v,w\right\}}\)
Dowód w drugą stronę:
Zał. że \(\displaystyle{ u,v,w}\) są liniowo zależne, tzn. \(\displaystyle{ w= \alpha u + \beta v \Rightarrow w \in lin\left\{ u,v\right\}}\).
I nie wiem jak mam dalej dojść do tego, że \(\displaystyle{ lin\left\{ u,v\right\}=lin\left\{ u,v,w\right\}}\)
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
domkniecie liniowe
waliant, ale dlaczego chcesz dowodzić w drugą stronę? Przecież Ty masz wykazać implikację tylko z lewa na prawo.
- waliant
- Użytkownik
- Posty: 1801
- Rejestracja: 9 gru 2010, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 275 razy
- Pomógł: 183 razy
domkniecie liniowe
Nie, w pierwszym poście nie napisałem całej treści, która brzmi: pokaż, że \(\displaystyle{ lin\left\{ u,v,w\right\}=lin\left\{ u,v\right\} \Leftrightarrow u,v,w}\) są liniowo niezależne.
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10206
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2358 razy
domkniecie liniowe
Ta treść jest nieprawdziwa na dwa sposoby. Po pierwsze, \(\displaystyle{ u, v, w}\) miały chyba być liniowo zależne. Po drugie, kontrprzykładem na to jestwaliant pisze:Nie, w pierwszym poście nie napisałem całej treści, która brzmi: pokaż, że \(\displaystyle{ lin\left\{ u,v,w\right\}=lin\left\{ u,v\right\} \Leftrightarrow u,v,w}\) są liniowo niezależne.
\(\displaystyle{ u = e_1, v = 0, w = e_2.}\)
Poprawna treść wyglądałaby tak:
Pokaż, że \(\displaystyle{ \mathrm{lin} \{ u, v, w \} = \mathrm{lin} \{ u, v \} \iff w}\) jest liniowo zależny od \(\displaystyle{ u, v.}\)
- waliant
- Użytkownik
- Posty: 1801
- Rejestracja: 9 gru 2010, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 275 razy
- Pomógł: 183 razy
domkniecie liniowe
Dasio11 pisze:Ta treść jest nieprawdziwa na dwa sposoby. Po pierwsze, \(\displaystyle{ u, v, w}\) miały chyba być liniowo zależne. Po drugie, kontrprzykładem na to jestwaliant pisze:Nie, w pierwszym poście nie napisałem całej treści, która brzmi: pokaż, że \(\displaystyle{ lin\left\{ u,v,w\right\}=lin\left\{ u,v\right\} \Leftrightarrow u,v,w}\) są liniowo niezależne.
\(\displaystyle{ u = e_1, v = 0, w = e_2.}\)
Poprawna treść wyglądałaby tak:Pokaż, że \(\displaystyle{ \mathrm{lin} \{ u, v, w \} = \mathrm{lin} \{ u, v \} \iff w}\) jest liniowo zależny od \(\displaystyle{ u, v.}\)
Treść wygląda tak jak napisałem, oczywiście z tym, że są liniowo zależne. Czyli wychodzi na to, że przy tej treści zachodzi tylko implikacja w prawą stronę. To teraz jak skończyć ten dowód w lewą stronę jeśli treść byłaby taka, jaką napisał Dasio11?
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10206
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2358 razy
domkniecie liniowe
Załóżmy, że \(\displaystyle{ w}\) jest liniowo zależny od \(\displaystyle{ u, v,}\) tj. istnieją takie \(\displaystyle{ \alpha , \beta,}\) że \(\displaystyle{ w = \alpha u + \beta v.}\)
Zawieranie \(\displaystyle{ \mathrm{lin} \{ u, v \} \subseteq \mathrm{lin} \{ u, v, w \}}\) nietrudno pokazać. Spróbuj udowodnić zawieranie w przeciwną stronę.
Zawieranie \(\displaystyle{ \mathrm{lin} \{ u, v \} \subseteq \mathrm{lin} \{ u, v, w \}}\) nietrudno pokazać. Spróbuj udowodnić zawieranie w przeciwną stronę.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10206
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2358 razy
domkniecie liniowe
Zacząć powinno się tak: weźmy dowolny \(\displaystyle{ x \in \mathrm{lin} \{ u, v, w \}.}\)
Trzeba pokazać, że \(\displaystyle{ x \in \mathrm{lin} \{ u, v \},}\) po prostu wskazując przedstawienie \(\displaystyle{ x}\) w postaci kombinacji liniowej \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v.}\)
Trzeba pokazać, że \(\displaystyle{ x \in \mathrm{lin} \{ u, v \},}\) po prostu wskazując przedstawienie \(\displaystyle{ x}\) w postaci kombinacji liniowej \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v.}\)