domkniecie liniowe

[waliant]

Mam takie pytanie, bo chyba nie za bardzo rozumiem całą istotę,
mianowicie dlaczego jeśli \(\displaystyle{ lin\left\{ u,v\right\}=lin\left\{ u,v,w\right\}}\) , to \(\displaystyle{ w \in lin\left\{ u,v\right\}}\) ?

Dążę do tego, aby pokazać, że gdy zachodzi \(\displaystyle{ lin\left\{ u,v\right\}=lin\left\{ u,v,w\right\}}\) to \(\displaystyle{ u,v,w}\) są liniowo zależne.

[Qń]

Zauważ, że \(\displaystyle{ w\in \textrm{lin}\{u,v,w\}}\), więc z założenia od razu dostajemy tezę.

Q.

[waliant]

chodzi o to, że jeśli \(\displaystyle{ w}\) należy do jednego a skoro są równe to należy i do drugiego?

[Qń]

Tak.

Q.

[waliant]

Idąc dalej \(\displaystyle{ w \in lin\left\{ u,v\right\} \Rightarrow \exists \alpha , \beta \neq 0 : w= \alpha u + \beta v \Rightarrow \left( u,v,w\right)}\) są liniowo zależne. Jest ok?

Dowód w drugą stronę:
Zał. że \(\displaystyle{ u,v,w}\) są liniowo zależne, tzn. \(\displaystyle{ w= \alpha u + \beta v \Rightarrow w \in lin\left\{ u,v\right\}}\).

I nie wiem jak mam dalej dojść do tego, że \(\displaystyle{ lin\left\{ u,v\right\}=lin\left\{ u,v,w\right\}}\)

[leszczu450]

waliant, ale dlaczego chcesz dowodzić w drugą stronę? Przecież Ty masz wykazać implikację tylko z lewa na prawo.

[waliant]

Nie, w pierwszym poście nie napisałem całej treści, która brzmi: pokaż, że \(\displaystyle{ lin\left\{ u,v,w\right\}=lin\left\{ u,v\right\} \Leftrightarrow u,v,w}\) są liniowo niezależne.

[leszczu450]

waliant, to zmienia postać rzeczy : )

[Dasio11]

Nie, w pierwszym poście nie napisałem całej treści, która brzmi: pokaż, że \(\displaystyle{ lin\left\{ u,v,w\right\}=lin\left\{ u,v\right\} \Leftrightarrow u,v,w}\) są liniowo niezależne.

Ta treść jest nieprawdziwa na dwa sposoby. Po pierwsze, \(\displaystyle{ u, v, w}\) miały chyba być liniowo zależne. Po drugie, kontrprzykładem na to jest

\(\displaystyle{ u = e_1, v = 0, w = e_2.}\)

Poprawna treść wyglądałaby tak:

Pokaż, że \(\displaystyle{ \mathrm{lin} \{ u, v, w \} = \mathrm{lin} \{ u, v \} \iff w}\) jest liniowo zależny od \(\displaystyle{ u, v.}\)

[waliant]

Nie, w pierwszym poście nie napisałem całej treści, która brzmi: pokaż, że \(\displaystyle{ lin\left\{ u,v,w\right\}=lin\left\{ u,v\right\} \Leftrightarrow u,v,w}\) są liniowo niezależne.

Ta treść jest nieprawdziwa na dwa sposoby. Po pierwsze, \(\displaystyle{ u, v, w}\) miały chyba być liniowo zależne. Po drugie, kontrprzykładem na to jest

\(\displaystyle{ u = e_1, v = 0, w = e_2.}\)

Poprawna treść wyglądałaby tak:

Pokaż, że \(\displaystyle{ \mathrm{lin} \{ u, v, w \} = \mathrm{lin} \{ u, v \} \iff w}\) jest liniowo zależny od \(\displaystyle{ u, v.}\)

Treść wygląda tak jak napisałem, oczywiście z tym, że są liniowo zależne. Czyli wychodzi na to, że przy tej treści zachodzi tylko implikacja w prawą stronę. To teraz jak skończyć ten dowód w lewą stronę jeśli treść byłaby taka, jaką napisał Dasio11?

[Dasio11]

Załóżmy, że \(\displaystyle{ w}\) jest liniowo zależny od \(\displaystyle{ u, v,}\) tj. istnieją takie \(\displaystyle{ \alpha , \beta,}\) że \(\displaystyle{ w = \alpha u + \beta v.}\)

Zawieranie \(\displaystyle{ \mathrm{lin} \{ u, v \} \subseteq \mathrm{lin} \{ u, v, w \}}\) nietrudno pokazać. Spróbuj udowodnić zawieranie w przeciwną stronę.

[waliant]

Mam takie coś \(\displaystyle{ w= \alpha u + \beta v \Rightarrow w \in lin\left\{ u,v\right\} \Rightarrow [?]}\)

[Dasio11]

Zacząć powinno się tak: weźmy dowolny \(\displaystyle{ x \in \mathrm{lin} \{ u, v, w \}.}\)
Trzeba pokazać, że \(\displaystyle{ x \in \mathrm{lin} \{ u, v \},}\) po prostu wskazując przedstawienie \(\displaystyle{ x}\) w postaci kombinacji liniowej \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v.}\)