Przestrzenie liniowe

[Mieszek]

1. W przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ R^{4}}\) dane są wektory \(\displaystyle{ \alpha _{1}=\left( 1, -1, 1, -1\right)}\), \(\displaystyle{ \alpha _{2}=\left( 0, 1, 0, 1\right)}\), \(\displaystyle{ \alpha _{3}=\left( -1, -2, -1, -2\right)}\), \(\displaystyle{ \beta =\left( 1, 1, 1, 0\right)}\) oraz podprzestrzeń \(\displaystyle{ V}\) opisana następującym układem równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}- x_{3}=0 \\ x_{1}+ x_{2}- x_{3}- x_{4}=0 \\ -2 x_{1}- x_{2}+2 x_{3}+ x_{4}=0 \end{cases}}\)
a) Czy wektory \(\displaystyle{ \alpha _{1}, \alpha _{2}, \alpha _{3}}\) rozpinają \(\displaystyle{ V}\)? Czy wektory \(\displaystyle{ \alpha _{1}, \alpha _{2}, \alpha _{3}}\) są bazą \(\displaystyle{ V}\)? Czy \(\displaystyle{ \beta}\) jest kombinacją liniową wektorów \(\displaystyle{ \alpha _{1}, \alpha _{2}, \alpha _{3}}\)?
Zapisując te wektory w wierszach, ostatni wiersz się zeruje, co oznacza, że układ jest liniowo zależny, więc nie może rozpinać \(\displaystyle{ V}\). Czy argument przeciwko tworzeniu bazy jest taki sam? \(\displaystyle{ \beta}\) nie jest kombinacją liniową wektorów \(\displaystyle{ \alpha _{1}, \alpha _{2}, \alpha _{3}}\), ponieważ, nie można go zapisać w postaci \(\displaystyle{ \left( 1, 1, 1, 0\right)=a \cdot \alpha_{1}+b \cdot \alpha_{2}+c \cdot \alpha_{3}}\), prawda?
b) Podać przykład bazy \(\displaystyle{ \gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}, \gamma_{4}}\) w \(\displaystyle{ R^{4}}\) takiej, że \(\displaystyle{ \gamma_{1}, \gamma_{2} \in V}\) oraz wektor \(\displaystyle{ \beta}\) ma w tej bazie współrzędne \(\displaystyle{ 1, 1, -1, 1}\).
Jak to zrobić?

2. W przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\) dane są podprzestrzenie \(\displaystyle{ V=lin\left( \left( 1, 1, -2\right), \left( 1, 2, -3\right), \left( 2, 3, -5\right) \right)}\) oraz \(\displaystyle{ W_{t}=lin\left( \left( 2, 3, -5\right), \left( 1, -2, 2+t\right) \right)}\).
a) Znaleźć bazę i wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ V}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ V}\) można opisać jednym równaniem.
Po wpisaniu w wiersze macierzy wychodzi, że baza \(\displaystyle{ V}\), to \(\displaystyle{ lin\left( \left( 1, 0, -1\right) \left( 0, 1, -1\right) \right)}\), tak? Czyli wymiar tej bazy to \(\displaystyle{ 2}\). A jak wykonać drugą część podpunktu?
b) Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ t \in R}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ W_{t}=V}\)?
Wpisując drugą macierz do wierszy i wykonując operacje elementarne, otrzymuję: \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&-1\\0&1&-1\\0&0&0\end{bmatrix}}\), czyli \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&-1\\0&1&-1\end{bmatrix}}\).
Natomiast postępując tak samo z pierwszą macierzą wychodzi: \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&-7&9+2t\\1&-2&2+t\end{bmatrix}}\) i nie wiem jak postępować dalej.

[Kacperdev]

1.

układ jest liniowo zależny, więc nie może rozpinać \(\displaystyle{ V}\).

Niekoniecznie. Układ liniowo zależny może generować przestrzeń.

Czy argument przeciwko tworzeniu bazy jest taki sam?

Akurat tu ten argument jest w porządku. Baze tworzy układ generatorów liniowo niezależnych wiec, ten układ jeżeli jest zależny to bazą być nie może.

[Mieszek]

Niekoniecznie. Układ liniowo zależny może generować przestrzeń.

W jakich przypadkach?

[Kacperdev]

Weźmy np. baze standardową w \(\displaystyle{ \RR^{3}}\)

bazą tą jest układ wektorów: \(\displaystyle{ \left( 1,0,0\right), \left( 0,1,0\right), \left( 0,0,1\right)}\)

Baza oczywiscie generuje przestrzeń. Wiec jezeli do tej bazy dorzuce jakąkolwiek kombinacje liniową z bazy.... czyli jakikolwiek wektor z przestrzni to uklad wciaz bedzie generować.

tzn. układ \(\displaystyle{ v_{1}=\left( 1,0,0\right), v_{2}=\left( 0,1,0\right), v_{3}=\left( 0,0,1\right), v_{4}=\left(1,1,1\right)}\)

jezeli generuja tzn, że istnieją takie \(\displaystyle{ a,b,c,d \in}\) \(\displaystyle{ \RR}\)

\(\displaystyle{ av_{1}+bv_{2}+cv_{3}+dv_{4}=(x,y,z)}\)
Pierwsze trzy wektory są bazą wiec GENERUJA przestrzeń, wiec wystarczy, że \(\displaystyle{ d=0}\)