Wyznaczyc baze i wymiar przestrzeni liniowej
\(\displaystyle{ \mathfrak{X}=\{x\in \mathbb{R}^4: x_1+2x_2+3x_3-x_4=0, \ x_1+x_2+x_3-x_4=0\}}\)
Wyznaczyc baze i wymiar przestrzeni liniowej
-
kuch2r
- Użytkownik
- Posty: 2302
- Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 408 razy
Wyznaczyc baze i wymiar przestrzeni liniowej
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1+2x_2+3x_3-x_4=0\\x_1+x_2+x_3-x_4=0\end{cases}\\\begin{cases}x_2+2x_3=0\\x_1+x_2+x_3-x_4=0\end{cases}}\)
Niech:
\(\displaystyle{ x_1=t, x_4=s}\), gdzie \(\displaystyle{ t,s\in \mathbb{R}}\)
Stad:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x_2+2x_3=0\\t+x_2+x_3-s=0\end{cases}\\\begin{cases}x_2+2x_3=0\\x_2+x_3=s-t\end{cases}\\\begin{cases}x_2=2s-2t\\x_3=t-s\end{cases}}\)
Zatem, rozwiazaniem powyzszego ukladu rownan ,jest:
\(\displaystyle{ [x_1,x_2,x_3,x_4]=[t,2s-2t,t-s,s]=[t,-2t,t,0]+[0,2s,-s,s]=
\\t[1,-2,1,0]+s[0,2,-1,1]}\)
Baza beda wektory:
\(\displaystyle{ \mathbb{B}=\{[1,-2,1,0],[0,2,-1,1]\}}\)
Wymiar przestrzeni linowej jest rowny \(\displaystyle{ 2}\)
Niech:
\(\displaystyle{ x_1=t, x_4=s}\), gdzie \(\displaystyle{ t,s\in \mathbb{R}}\)
Stad:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x_2+2x_3=0\\t+x_2+x_3-s=0\end{cases}\\\begin{cases}x_2+2x_3=0\\x_2+x_3=s-t\end{cases}\\\begin{cases}x_2=2s-2t\\x_3=t-s\end{cases}}\)
Zatem, rozwiazaniem powyzszego ukladu rownan ,jest:
\(\displaystyle{ [x_1,x_2,x_3,x_4]=[t,2s-2t,t-s,s]=[t,-2t,t,0]+[0,2s,-s,s]=
\\t[1,-2,1,0]+s[0,2,-1,1]}\)
Baza beda wektory:
\(\displaystyle{ \mathbb{B}=\{[1,-2,1,0],[0,2,-1,1]\}}\)
Wymiar przestrzeni linowej jest rowny \(\displaystyle{ 2}\)