Wielomian charakterystyczny macierzy

[Marynarz94]

Niech \(\displaystyle{ A=[ a_{ij}]}\). Pokazać, że wielomian charakterystyczny \(\displaystyle{ det(A-\lambda I_{n})}\) jest wielomianem stopnia n, \(\displaystyle{ det(A-\lambda I_{n})= (-1)^{n}(\lambda^{n}- a_{1}\lambda^{n-1}+ a_{2}\lambda^{n-2}-...+(-1)^n a_{n})}\) i każdy jego współczynnik \(\displaystyle{ a_{k}}\) jest sumą wszystkich minorów głównych stopnia k macierzy \(\displaystyle{ A}\). W szczególności mamy

\(\displaystyle{ a_{1}= tr\ (A)}\) i \(\displaystyle{ a_{n}=det(A)}\).

Znacie może jakiś sprytny dowód nieindukcyjny?

[bartek118]

To że jest stopnia \(\displaystyle{ n}\) może wynikać z tego, że ma \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków (liczonych wraz z krotnościami), a to z kolei wynika z tego, że wektory własne stanowią bazę całej przestrzeni.

[Marynarz94]

Ale nie w każdej przestrzeni istnieje baza złożona z wektorów własnych jakiegoś endomorfizmu :/ Na przykład w \(\displaystyle{ \RR ^{2}}\) z obrotem o jakiś kąt w ogóle nie ma wektorów własnych, a wielomian charakterystyczny jest stopnia 2.

[a4karo]

To, że jest wielomianem stopnia \(\displaystyle{ n}\) wynika wprost z definicji wyznacznika: jedyny składnik z \(\displaystyle{ \lambda^n}\) bierze się z iloczynów elementów z głównej przekątnej.-- 27 lut 2014, o 21:23 --Co do drugiej części: może pomoże takie coś:
zamiast odejmować na głównej przekątnej \(\displaystyle{ \lambda}\) odejmuj od kolejnych elementów przekątnej \(\displaystyle{ \lambda_1, \lambda_2,\dots,\lambda_n}\). Wyznacznik takiej macierzy będzie wielomianem \(\displaystyle{ W(\lambda_1,\dots,\lambda_n)}\)
Współczynnik, stojący przy \(\displaystyle{ \lambda^k}\) w wielomianie charakterystycznym będzie (z dokładnością do znaku) sumą współczynników przy najwyższych potęgach \(\displaystyle{ \lambda}\) wielomianów \(\displaystyle{ W(l_1,l_2,\dots,l_n)}\), gdzie w ciągu \(\displaystyle{ l}\) jest dokładnie \(\displaystyle{ k}\) lambd i \(\displaystyle{ n-k}\) zer.