Operator sprzężony.

[adam1407]

Niech \(\displaystyle{ T:\mathbb{R}_{2}[.]\xrightarrow{} \mathbb{R}^{2}}\) będzie operatorem liniowym zadanym formułą :

\(\displaystyle{ T\omega= \begin{bmatrix} \omega(1)\\\omega^{'}(0)\end{bmatrix}}\)

Znaleźć operator sprzężony \(\displaystyle{ T^{*}(x)}\) gdzie \(\displaystyle{ x=[1,2]}\) oraz \(\displaystyle{ T^{*}:\mathbb{R}^{2} \xrightarrow{} \mathbb{R}_{2}[.]}\).

Symbol \(\displaystyle{ \mathbb{R}_{2}[.]}\) oznacza funkcje wielomianowe stopnia co najwyżej drugiego.

Nie bardzo mam pojęcie jak to zrobić.

[Spektralny]

Ustal bazy \(\displaystyle{ \mathbb{R}_2[\cdot]}\) oraz \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) (możesz wziąć bazy kanoniczne). Zapisz macierz odwzorowania \(\displaystyle{ T}\) w tych bazach, a następnie ją transponuj. Transpozycja tej macierzy będzie macierzą szukanego przekształcenia liniowego w bazach sprzężonych do wybranych przez Ciebie baz.

Przypomnijmy, że jeżeli \(\displaystyle{ V}\) jest przestrzenią liniową skończenie wymiarową oraz \(\displaystyle{ \{x_i\colon i\in I\}}\) jest jej bazą, to rodzina \(\displaystyle{ \{x_i^*\colon i\in I\}}\) jest bazą przestrzeni \(\displaystyle{ V^*}\), gdzie \(\displaystyle{ x_i^*(x)}\) to współczynnik stojący przy \(\displaystyle{ x_i}\) w rozwinięciu elementu \(\displaystyle{ x}\) w bazie \(\displaystyle{ \{x_i\colon i\in I\}}\).