Wyznacznik macierzy

[leszczu450]

Cześć !

Zastanawiam się czy dobrze argumentuje sobie pewne przejście. Pozwólcie, że przedstawie swój problem. W dowodzie wersji ogólnej twierdzenia o funkcji uwikłanej występuję taka oto macierz:

\(\displaystyle{ Df(x_0,y_0)=\left[ \begin{array}{cc} Id_n&0_{n \times k} \\ \frac{ \partial g}{ \partial x}(x_0,y_0) & \frac{ \partial g}{ \partial y}(x_0,y_0) \end{array} \right]}\)

Macierz ma wymair \(\displaystyle{ (n+k) \times (n+k)}\)

\(\displaystyle{ x=\left( x_1, \ldots , x_n\right)}\)
\(\displaystyle{ y=\left( y_1, \ldots , y_n\right)}\)
\(\displaystyle{ f : \mathcal{O} \to \RR^n \times \RR^k}\)
\(\displaystyle{ \mathcal{O} \subset \RR^n \times \RR^k}\)
\(\displaystyle{ g : \matchal{O} \to \RR^k}\)
\(\displaystyle{ f(x,y)= \left( x , g(x,y)\right)}\)

Mam wyliczyć wyznacznik tej macierzy blokowej. Wydaje mi się, że stosując \(\displaystyle{ n}\) razy rozwinięcię Laplace'a idąc po przekątnej identyczności dojde do tego, ze wyznacznik tej jest równy \(\displaystyle{ \frac{ \partial g}{ \partial y}(x_0,y_0)}\).

Czy dobze to argumentuje? Czy może wynika to z czegoś innego?

Dziękuję za pomoc.

[yorgin]

Argumentacja jest ok, ale końcówka jest źle.

\(\displaystyle{ \frac{ \partial g}{ \partial y}(x_0,y_0)}\) jest macierzą i wyznacznik tejże to wyznacznik całej dużej macierzy \(\displaystyle{ (n+k)\times (n+k)}\).

Przy okazji, przy powyższym sformułowaniu wektor \(\displaystyle{ y}\) nie może być elementem \(\displaystyle{ \RR^n}\). Jest elementem \(\displaystyle{ \RR^k}\).

[leszczu450]

yorgin, masz oczywiście rację ! Mała poprawka:

\(\displaystyle{ y=\left( y_1, \ldots , y_k\right)}\)
\(\displaystyle{ Df(x_0,y_0)=\left[ \begin{array}{cc} Id_n&0_{n \times k} \\ \frac{ \partial g}{ \partial x}(x_0,y_0) & \frac{ \partial g}{ \partial y}(x_0,y_0) \end{array} \right]= det \frac{ \partial g}{ \partial y}(x_0,y_0)}\)

To miałem na myśli. Źle przelałem na papier : ) Dziękuję Ci za pomoc !