Odwzorowanie liniowe - surjekcja, bijekcja, injekcja

[Poszukujaca]

Jak sprawdzić czy odwzorowanie liniowe, którego wzór znamy, jest surjekcją, iniekcją i bijekcją?

[szw1710]

Jnjekcja jądro trywialne (bez złych konotacji ). Surjekcja - maksymalny rząd macierzy. Bijekcja = injekcja+surjekcja.

[Poszukujaca]

Co to jest jądro trywialne?

Wystarczy jak sprawdzę takie warunki?
Dla odwzorowania: \(\displaystyle{ f:R^{n} \rightarrow R^{m}}\)
1) injektywność: \(\displaystyle{ r(f)=n}\) = rząd macierzy odwzorowania jest równy n
2) surjektywność: \(\displaystyle{ Im f=R^{n}}\)

[AiDi]

Jądro trywialne to tyle, że jest przestrzenią zerową.

[Poszukujaca]

Jądro trywialne to tyle, że jest przestrzenią zerową.

A czy jądro nie jest przestrzenią zerową ze swojej definicji? Tzn każde jądro jest przestrzenią zerową?

[szw1710]

Nie jest. Np. dla odwzorowania stale równego zero. Albo dla \(\displaystyle{ f(x,y)=(2x-y,4x-2y)}\), gdzie jądrem jest prosta \(\displaystyle{ y=2x}\).

[Poszukujaca]

Dobrze już w miarę rozumiem

Ale proszę jeszcze o pomoc w sprawdzeniu tych warunków na konkretnym przykładzie:

\(\displaystyle{ f(x,y,z,t)=(x+y+z-t, 2x+y-z+t, y+3z-3t)}\)

\(\displaystyle{ Ker f=\left\{ (x,y,z,t): z(2,-3,1,0) + t(-2,3,0,1), t,z\in R \right\}}\)

\(\displaystyle{ Im f=\left\{ x(1,2,0)+y(1,1,1)+z(1,-1,3)+t(-1,1,-3), x,y,z,t \in R \right\}}\)