Określić wymiar przestrzeni wektorowej
- Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
Określić wymiar przestrzeni wektorowej
W zależności od parametru \(\displaystyle{ q}\) określić wymiar przestrzeni wektorowej:
\(\displaystyle{ V=lin((2,q,-2),(q,1,-q),(q,3,q))}\)
Wiem, że wymiar przestrzeni jest równy rzędowi macierzy, której wierszami (kolumnami) są wektory rozpinające tę przestrzeń.
W takim razie mogę utworzyć macierz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&q&-2\\q&1&-q\\q&3&q\end{array}\right]}\)
Mój problem polega na tym, że nie wiem jak sprawnie zbadać rząd takiej macierzy, skoro \(\displaystyle{ q}\) jest parametrem.
\(\displaystyle{ V=lin((2,q,-2),(q,1,-q),(q,3,q))}\)
Wiem, że wymiar przestrzeni jest równy rzędowi macierzy, której wierszami (kolumnami) są wektory rozpinające tę przestrzeń.
W takim razie mogę utworzyć macierz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&q&-2\\q&1&-q\\q&3&q\end{array}\right]}\)
Mój problem polega na tym, że nie wiem jak sprawnie zbadać rząd takiej macierzy, skoro \(\displaystyle{ q}\) jest parametrem.
Ostatnio zmieniony 18 lut 2014, o 10:56 przez yorgin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Określić wymiar przestrzeni wektorowej
1. Policz wyznacznik macierzy. Sprawdź, dla jakich \(\displaystyle{ q}\) jest on niezerowy.
2. Sprawdź, dla jakich \(\displaystyle{ q}\) istnieje przynajmniej jeden niezerowy minor drugiego rzędu. A może znajdzie się \(\displaystyle{ q}\) takie, że rząd spadnie do jedynki?
Lub
Wykonaj operacje elementarne na macierzy. Postaraj się zredukować tak wiele, jak to tylko możliwe. A więc postępuj dokładnie tak samo, jak gdyby nie było parametru.
2. Sprawdź, dla jakich \(\displaystyle{ q}\) istnieje przynajmniej jeden niezerowy minor drugiego rzędu. A może znajdzie się \(\displaystyle{ q}\) takie, że rząd spadnie do jedynki?
Lub
Wykonaj operacje elementarne na macierzy. Postaraj się zredukować tak wiele, jak to tylko możliwe. A więc postępuj dokładnie tak samo, jak gdyby nie było parametru.
- Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
Określić wymiar przestrzeni wektorowej
Spróbowałam zrobić pierwszą metodą:
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}2&q&-2\\q&1&-q\\q&3&q\end{array}\right|=4q-2q^{3}}\)
\(\displaystyle{ 4q-2q^{3} \neq 0 \Leftrightarrow q \in R \setminus \left\{-\sqrt{2}, \sqrt{2}, 0\right\}}\)
\(\displaystyle{ dim V=1, gdy q \in R \setminus \left\{-\sqrt{2}, \sqrt{2}, 0\right\}}\)
Teraz liczę wyznaczniki wszystkich minorów drugiego stopnia i na zasadzie tych obliczeń otrzymuję, że:
\(\displaystyle{ dim V=2 \Leftrightarrow q \in \left\{-\sqrt{2}, 0, \sqrt{2}\right\}}\)
Proszę o sprawdzenie.
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}2&q&-2\\q&1&-q\\q&3&q\end{array}\right|=4q-2q^{3}}\)
\(\displaystyle{ 4q-2q^{3} \neq 0 \Leftrightarrow q \in R \setminus \left\{-\sqrt{2}, \sqrt{2}, 0\right\}}\)
\(\displaystyle{ dim V=1, gdy q \in R \setminus \left\{-\sqrt{2}, \sqrt{2}, 0\right\}}\)
Teraz liczę wyznaczniki wszystkich minorów drugiego stopnia i na zasadzie tych obliczeń otrzymuję, że:
\(\displaystyle{ dim V=2 \Leftrightarrow q \in \left\{-\sqrt{2}, 0, \sqrt{2}\right\}}\)
Proszę o sprawdzenie.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Określić wymiar przestrzeni wektorowej
Ok.Poszukujaca pisze: \(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}2&q&-2\\q&1&-q\\q&3&q\end{array}\right|=4q-2q^{3}}\)
\(\displaystyle{ 4q-2q^{3} \neq 0 \Leftrightarrow q \in R \setminus \left\{-\sqrt{2}, \sqrt{2}, 0\right\}}\)
No raczej wymiar nie jest równy \(\displaystyle{ 1}\). Chodziło Ci zapewne o \(\displaystyle{ 2}\)?Poszukujaca pisze: \(\displaystyle{ dim V=1, gdy q \in R \setminus \left\{-\sqrt{2}, \sqrt{2}, 0\right\}}\)
Ok. Chociaż mam jedną uwagę. Aby wymiar był równy \(\displaystyle{ 2}\) wystarczy, że jakikolwiek minor drugiego rzędu będzie niezerowy, więc wystarczy wskazać jeden, nie trzeba liczyć wszystkich. Gdybyś chciała pokazać, że wymiar wynosi \(\displaystyle{ 1}\), to wtedy należy pokazać, że wszystkie minory drugiego rzędu są zerowe (lub pokazać, że dwa wiersze są proporcjonalne do trzeciego).Poszukujaca pisze: Teraz liczę wyznaczniki wszystkich minorów drugiego stopnia i na zasadzie tych obliczeń otrzymuję, że:
\(\displaystyle{ dim V=2 \Leftrightarrow q \in \left\{-\sqrt{2}, 0, \sqrt{2}\right\}}\)
- Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
Określić wymiar przestrzeni wektorowej
Dlaczego wymiar ma być równy 2 dla takich parametrów? Liczę minor stopnia pierwszego.yorgin pisze:
No raczej wymiar nie jest równy \(\displaystyle{ 1}\). Chodziło Ci zapewne o \(\displaystyle{ 2}\)?
Myślałam tak, ponieważ mamy tu do czynienia z parametrem i trzeba zbadać wszystkie takie sytuacje, gdy minory będą niezerowe.yorgin pisze: Ok. Chociaż mam jedną uwagę. Aby wymiar był równy \(\displaystyle{ 2}\) wystarczy, że jakikolwiek minor drugiego rzędu będzie niezerowy, więc wystarczy wskazać jeden, nie trzeba liczyć wszystkich. Gdybyś chciała pokazać, że wymiar wynosi \(\displaystyle{ 1}\), to wtedy należy pokazać, że wszystkie minory drugiego rzędu są zerowe (lub pokazać, że dwa wiersze są proporcjonalne do trzeciego).
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Określić wymiar przestrzeni wektorowej
Minor stopnia pierwszego niezerowy istnieje zawsze. Wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ |2|\neq 0}\). Dla wypisanych przez Ciebie parametrów rząd jest równy \(\displaystyle{ 2}\), więc nie rozumiem, dlaczego piszesz, że wymiar wynosi \(\displaystyle{ 1}\).Poszukujaca pisze: Dlaczego wymiar ma być równy 2 dla takich parametrów? Liczę minor stopnia pierwszego.
- Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
Określić wymiar przestrzeni wektorowej
Pomyliłam sobie czym jest stopień minora. Stopień minora to liczba wierszy (kolumn) wyznacznika, który jest minorem.
Teraz wiemy, że rząd macierzy jest równy największemu ze stopni jej niezerowych minorów.
W takim razie powinnam chyba napisać, że:
\(\displaystyle{ dim V=3 \Leftrightarrow x \in R \setminus \left\{ -\sqrt{2}, 0, \sqrt{2}\right\}}\)
Ale pozostaje pytanie...
Czy minor największego stopnia macierzy kwadratowej może być po prostu tą macierzą?
Teraz wiemy, że rząd macierzy jest równy największemu ze stopni jej niezerowych minorów.
W takim razie powinnam chyba napisać, że:
\(\displaystyle{ dim V=3 \Leftrightarrow x \in R \setminus \left\{ -\sqrt{2}, 0, \sqrt{2}\right\}}\)
Ale pozostaje pytanie...
Czy minor największego stopnia macierzy kwadratowej może być po prostu tą macierzą?
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Określić wymiar przestrzeni wektorowej
Zdecydowanie tak powinno być... Chyba oboje szerzyliśmy herezjęPoszukujaca pisze: W takim razie powinnam chyba napisać, że:
\(\displaystyle{ dim V=3 \Leftrightarrow x \in R \setminus \left\{ -\sqrt{2}, 0, \sqrt{2}\right\}}\)
Tak. Minor trzeciego stopnia dla macierzy \(\displaystyle{ 3\times 3}\) to po prostu cała macierz / jej wyznacznik.Poszukujaca pisze: Ale pozostaje pytanie...
Czy minor największego stopnia macierzy kwadratowej może być po prostu tą macierzą?
- Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
Określić wymiar przestrzeni wektorowej
Zdarza się
Dalsza część rozwiązania to:
\(\displaystyle{ dim V=2 \Leftrightarrow q \in \left\{-\sqrt{2}, 0, \sqrt{2}\right\}}\)
I to już chyba koniec zadania? Tak?
Dalsza część rozwiązania to:
\(\displaystyle{ dim V=2 \Leftrightarrow q \in \left\{-\sqrt{2}, 0, \sqrt{2}\right\}}\)
I to już chyba koniec zadania? Tak?