Określić wymiar przestrzeni wektorowej

[Poszukujaca]

W zależności od parametru \(\displaystyle{ q}\) określić wymiar przestrzeni wektorowej:
\(\displaystyle{ V=lin((2,q,-2),(q,1,-q),(q,3,q))}\)

Wiem, że wymiar przestrzeni jest równy rzędowi macierzy, której wierszami (kolumnami) są wektory rozpinające tę przestrzeń.
W takim razie mogę utworzyć macierz:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&q&-2\\q&1&-q\\q&3&q\end{array}\right]}\)

Mój problem polega na tym, że nie wiem jak sprawnie zbadać rząd takiej macierzy, skoro \(\displaystyle{ q}\) jest parametrem.

[yorgin]

1. Policz wyznacznik macierzy. Sprawdź, dla jakich \(\displaystyle{ q}\) jest on niezerowy.

2. Sprawdź, dla jakich \(\displaystyle{ q}\) istnieje przynajmniej jeden niezerowy minor drugiego rzędu. A może znajdzie się \(\displaystyle{ q}\) takie, że rząd spadnie do jedynki?

Lub

Wykonaj operacje elementarne na macierzy. Postaraj się zredukować tak wiele, jak to tylko możliwe. A więc postępuj dokładnie tak samo, jak gdyby nie było parametru.

[Poszukujaca]

Spróbowałam zrobić pierwszą metodą:

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}2&q&-2\\q&1&-q\\q&3&q\end{array}\right|=4q-2q^{3}}\)

\(\displaystyle{ 4q-2q^{3} \neq 0 \Leftrightarrow q \in R \setminus \left\{-\sqrt{2}, \sqrt{2}, 0\right\}}\)

\(\displaystyle{ dim V=1, gdy q \in R \setminus \left\{-\sqrt{2}, \sqrt{2}, 0\right\}}\)

Teraz liczę wyznaczniki wszystkich minorów drugiego stopnia i na zasadzie tych obliczeń otrzymuję, że:

\(\displaystyle{ dim V=2 \Leftrightarrow q \in \left\{-\sqrt{2}, 0, \sqrt{2}\right\}}\)

Proszę o sprawdzenie.

[yorgin]

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}2&q&-2\\q&1&-q\\q&3&q\end{array}\right|=4q-2q^{3}}\)

\(\displaystyle{ 4q-2q^{3} \neq 0 \Leftrightarrow q \in R \setminus \left\{-\sqrt{2}, \sqrt{2}, 0\right\}}\)

Ok.

\(\displaystyle{ dim V=1, gdy q \in R \setminus \left\{-\sqrt{2}, \sqrt{2}, 0\right\}}\)

No raczej wymiar nie jest równy \(\displaystyle{ 1}\). Chodziło Ci zapewne o \(\displaystyle{ 2}\)?

Teraz liczę wyznaczniki wszystkich minorów drugiego stopnia i na zasadzie tych obliczeń otrzymuję, że:

\(\displaystyle{ dim V=2 \Leftrightarrow q \in \left\{-\sqrt{2}, 0, \sqrt{2}\right\}}\)

Ok. Chociaż mam jedną uwagę. Aby wymiar był równy \(\displaystyle{ 2}\) wystarczy, że jakikolwiek minor drugiego rzędu będzie niezerowy, więc wystarczy wskazać jeden, nie trzeba liczyć wszystkich. Gdybyś chciała pokazać, że wymiar wynosi \(\displaystyle{ 1}\), to wtedy należy pokazać, że wszystkie minory drugiego rzędu są zerowe (lub pokazać, że dwa wiersze są proporcjonalne do trzeciego).

[Poszukujaca]

No raczej wymiar nie jest równy \(\displaystyle{ 1}\). Chodziło Ci zapewne o \(\displaystyle{ 2}\)?

Dlaczego wymiar ma być równy 2 dla takich parametrów? Liczę minor stopnia pierwszego.

Ok. Chociaż mam jedną uwagę. Aby wymiar był równy \(\displaystyle{ 2}\) wystarczy, że jakikolwiek minor drugiego rzędu będzie niezerowy, więc wystarczy wskazać jeden, nie trzeba liczyć wszystkich. Gdybyś chciała pokazać, że wymiar wynosi \(\displaystyle{ 1}\), to wtedy należy pokazać, że wszystkie minory drugiego rzędu są zerowe (lub pokazać, że dwa wiersze są proporcjonalne do trzeciego).

Myślałam tak, ponieważ mamy tu do czynienia z parametrem i trzeba zbadać wszystkie takie sytuacje, gdy minory będą niezerowe.

[yorgin]

Dlaczego wymiar ma być równy 2 dla takich parametrów? Liczę minor stopnia pierwszego.

Minor stopnia pierwszego niezerowy istnieje zawsze. Wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ |2|\neq 0}\). Dla wypisanych przez Ciebie parametrów rząd jest równy \(\displaystyle{ 2}\), więc nie rozumiem, dlaczego piszesz, że wymiar wynosi \(\displaystyle{ 1}\).

[Poszukujaca]

Pomyliłam sobie czym jest stopień minora. Stopień minora to liczba wierszy (kolumn) wyznacznika, który jest minorem.
Teraz wiemy, że rząd macierzy jest równy największemu ze stopni jej niezerowych minorów.

W takim razie powinnam chyba napisać, że:
\(\displaystyle{ dim V=3 \Leftrightarrow x \in R \setminus \left\{ -\sqrt{2}, 0, \sqrt{2}\right\}}\)

Ale pozostaje pytanie...
Czy minor największego stopnia macierzy kwadratowej może być po prostu tą macierzą?

[yorgin]

W takim razie powinnam chyba napisać, że:
\(\displaystyle{ dim V=3 \Leftrightarrow x \in R \setminus \left\{ -\sqrt{2}, 0, \sqrt{2}\right\}}\)

Zdecydowanie tak powinno być... Chyba oboje szerzyliśmy herezję

Ale pozostaje pytanie...
Czy minor największego stopnia macierzy kwadratowej może być po prostu tą macierzą?

Tak. Minor trzeciego stopnia dla macierzy \(\displaystyle{ 3\times 3}\) to po prostu cała macierz / jej wyznacznik.

[Poszukujaca]

Zdarza się

Dalsza część rozwiązania to:
\(\displaystyle{ dim V=2 \Leftrightarrow q \in \left\{-\sqrt{2}, 0, \sqrt{2}\right\}}\)

I to już chyba koniec zadania? Tak?

[yorgin]

Tak. To by był koniec.