Znaleźć bazę dla ustalonych współrzędnych wektora

[Poszukujaca]

Znaleźć bazę podprzestrzeni wektorowej
\(\displaystyle{ V=\left\{ (x+y,2x,,y-x,3,), x,y\in R\right\}}\), w której wszystkie współrzędne wektora \(\displaystyle{ u=(3,4,-1,3)}\) są równe 6.

Na razie zrobiłam coś takiego:

\(\displaystyle{ v\in V \Leftrightarrow v=(x+y,2x,y-x,3y)=(x,2x,-x,0)+(y,0,y,3y)=x(1,2,-1,0)+y(1,0,1,3)}\)

\(\displaystyle{ v_{1}=(1,2,-1,0), v_{2}=(1,0,1,3)}\)

Wektory te są bazą przestrzeni V. Mam sprawdzić, czy w tej bazie współrzędne wktora u są równe 6? Czy szukac innej bazy?

[Everard]

Oznaczmy sobie wektory z bazy którą znalazłaś przez \(\displaystyle{ v_1,v_2}\). Skoro to jest baza, mamy
\(\displaystyle{ u=a\cdot v_1+b\cdot v_2.}\)
Chcielibyśmy żeby \(\displaystyle{ a=b=6}\). Ale jeśli zamiast \(\displaystyle{ v_1}\) rozważymy \(\displaystyle{ v_1'=v_1\cdot \frac{6}{a}}\) i analogicznie dla \(\displaystyle{ v_2}\), widzimy że
\(\displaystyle{ u=6v_1'+6v_2'.}\)
Zatem \(\displaystyle{ v_1',v_2'}\) będzie poszukiwaną bazą.

Jedyny problem pojawiłby się gdyby któreś z \(\displaystyle{ a,b}\) było równe zero. Wtedy trzeba się za to zabrać od drugiej strony - wziąć dowolne wektory \(\displaystyle{ v_1,v_2\in V}\), rozważyć równanie
\(\displaystyle{ u=6v_1+6v_2}\)
i skonstruować stąd \(\displaystyle{ v_1,v_2}\) liniowo niezależne.