Skonstruować odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ f:R^{2} \rightarrow R^{3}}\)
wiedząc, że \(\displaystyle{ Ker f=\left\{(x,0):x \in R\right\}, Im f=\left\{(x,y,z): 2x=3y=6z\right\}}\)
Konstrukcja odwzorowania liniowego
-
Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
-
Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
Konstrukcja odwzorowania liniowego
Znajdźmy bazę przestrzeni, która ma być obrazem. Dowolny wektor \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) z tej przestrzeni spełnia układ równań
\(\displaystyle{ x=\tfrac{3}{2}y}\)
\(\displaystyle{ y=y}\)
\(\displaystyle{ z=\tfrac{1}{2}y}\)
skąd jest to przestrzeń generowana przez wektor \(\displaystyle{ (3,2,1)}\). Określmy zatem odwzorowanie \(\displaystyle{ f}\) wzorem
\(\displaystyle{ f(x,y) = (3y, 2y, y)}\).
Mamy \(\displaystyle{ f(x,y) = (0,0,0)}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ x}\) jest dowolny oraz \(\displaystyle{ y=0}\), co pokazuje że istotnie zbiór \(\displaystyle{ \{(x,0)\colon x\in \mathbb{R}\}}\) jest jądrem odwzorowania \(\displaystyle{ f}\).
\(\displaystyle{ x=\tfrac{3}{2}y}\)
\(\displaystyle{ y=y}\)
\(\displaystyle{ z=\tfrac{1}{2}y}\)
skąd jest to przestrzeń generowana przez wektor \(\displaystyle{ (3,2,1)}\). Określmy zatem odwzorowanie \(\displaystyle{ f}\) wzorem
\(\displaystyle{ f(x,y) = (3y, 2y, y)}\).
Mamy \(\displaystyle{ f(x,y) = (0,0,0)}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ x}\) jest dowolny oraz \(\displaystyle{ y=0}\), co pokazuje że istotnie zbiór \(\displaystyle{ \{(x,0)\colon x\in \mathbb{R}\}}\) jest jądrem odwzorowania \(\displaystyle{ f}\).