Zmiana znaku wyznacznika

[Poszukujaca]

Jak zmieni się wyznacznik n-tego stopnia, jeżeli jego pierwszą kolumnę przestawimy na miejsce ostatnie, a pozostałe przesuniemy w lewo zachowując porządek?

Wydaje mi się, że wyznacznik będzie zmieniał swój znak w zależności od liczby n określającej jego stopień.

Definicja mówi, że wyznacznik zmienia swój znak w przypadku przestawienia dwóch dowolnych wierszy lub kolumn.
Czy to oznacza, że liczba przestawień decyduje o znaku wyznacznika w taki sposób, iż:
- gdy liczba liczba przestawień jest nieparzysta, to znak nie zmienia się
- gdy liczba liczba przestawień jest parzysta, znak zmienia się
?

Proszę o sprawdzenie, czy mój tok myślenia jest właściwy

[szw1710]

Dobrze. Tak więc wykonujemy \(\displaystyle{ n-1}\) przestawień. Więc nowy wyznacznik to \(\displaystyle{ (-1)^{n-1}\cdot\text{stary wyzancznik}}\).

[Poszukujaca]

A dlaczego \(\displaystyle{ n-1}\) przestawień skoro wyznacznik jest n-tego stopnia? Nie powinno być \(\displaystyle{ n}\) przestawień?

[szw1710]

Zobacz sobie na macierzy \(\displaystyle{ 3\times 3}\).

[Poszukujaca]

np.
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}4&5&6\\7&8&9\\1&2&3\end{array}\right]}\)
Wszystkie wiersze zmieniają swoje miejsce, więc jest n zmian.

Z kolumnami i z wierszami jest tak samo co do zmiany znaku tak?

[AiDi]

By przesatwić pierwszą kolumnę na drugie miejsce potrzebujemy jednego przestawienia, by na trzecie - dwóch, by na \(\displaystyle{ n}\)-te - \(\displaystyle{ n-1}\).

[Poszukujaca]

Jej, takie proste rzeczy, a ja na nie sama nie wpadam..

Liczba przestawień \(\displaystyle{ \neq}\) liczba przestawianych kolumn