Dowód macierz nieosobliwa, odwrotna, transponowana

[Poszukujaca]

Proszę o pomoc w sformułowaniu dowodu:

Udowodnić, że jeżeli macierz \(\displaystyle{ A}\) jest macierzą nieosobliwą i \(\displaystyle{ A^{-1} = A^{T}}\) to \(\displaystyle{ det A=\pm 1}\).

[szw1710]

Skojarz dwa fakty: \(\displaystyle{ \det A^{-1}=\dots}\) oraz \(\displaystyle{ \det A^T=\dots}\). Reszta wyjdzie sama.

[Poszukujaca]

Mam własność:
\(\displaystyle{ det A^{T}=det A}\)

Z założenia, że \(\displaystyle{ A^{-1}= A^{T}}\) wynika, że:
\(\displaystyle{ det A^{-1}= det A^{T}}\)

Teraz mam wzór:

\(\displaystyle{ A^{-1}=\frac{1}{det A} \cdot (A^{D})^{T}}\)

I rozwiązując to równanie wyszłoby, że \(\displaystyle{ det A=1}\), ale co zrobić z macierzą dopełnie n algebraicnzych?

[szw1710]

Ten ostatni nie jest potrzebny. Ile dokładnie wynosi \(\displaystyle{ \det A^{-1}}\)? I Ile dokładnie wynosi \(\displaystyle{ \det A^T}\)? Oczywiście w zależności od \(\displaystyle{ \det A}\). Dalej zadanie jest proste jak

[Poszukujaca]

\(\displaystyle{ det A^{-1}=det A^{T}=det A}\)
Stąd przecież nie mogę wnioskować, że \(\displaystyle{ det A=\pm 1}\)

[szw1710]

Bo złe przesłanki masz. Odpowiedz jeszcze raz na moje pytanie. Sam nie podam odpowiedzi, bo Twoją działką jest poszukać tego w notatkach z wykładu bądź w literaturze. To podstawowe własności wyznacznika.

[Poszukujaca]

Nie mogę odnaleźć właściwej własności wyznaczników, która byłaby tu pomocna.
Przez moment pomyślałam, że może iloczyn wyznaczników się przyda, ale chyba jednak nie.. Chociaż?-- 17 lut 2014, o 00:09 --\(\displaystyle{ det A \cdot det A^{-1} = det (A \cdot A^{-1})}\)
\(\displaystyle{ (det A)^{2}=det I}\)
\(\displaystyle{ (det A)^{2}=det I}\)
\(\displaystyle{ det A=-1 \vee det A=1}\)

[szw1710]

Ciepło, ale bardzo niedobrze. Rzecz pozytywna: \(\displaystyle{ \det A\cdot \det A^{-1}=1}\). Rzecz bardzo negatywna: na ogół oba powyższe wyznaczniki nie są równe. Szukaj dalej.

[Poszukujaca]

\(\displaystyle{ det A=det A^{T}}\)
Z założeń wynika, że \(\displaystyle{ det A^{-1}=det A^{T}}\)
czyli \(\displaystyle{ det A = det A^{-1}}\). Nieprawda?

[szw1710]

Nieprawda!!!

Zobacz do podręcznika algebry liniowej. Pytanie aktualne: jak mają się wyznaczniki macierzy transponowanej i odwrotnej do wyznacznika macierzy wyjściowej. Na razie piszesz źle. Nie podam Ci, choć to najprościej. Jeśli znajdziesz sama, więcej się nauczysz.

[Poszukujaca]

Znalazłam jeszcze taką wasność;

\(\displaystyle{ det (A^{-1})=\frac{1}{det A}}\)

I teraz korzystam z tego, że według założeń:

\(\displaystyle{ det A= det A^{-1}}\)

otrzymuję:

\(\displaystyle{ det A=\frac{1}{det A} \Leftrightarrow (det A)^{2}=1 \Leftrightarrow det A=\pm 1}\)

[szw1710]

O to chodziło.

Dowód: \(\displaystyle{ A\cdot A^{-1}=I}\), więc \(\displaystyle{ \det A\cdot \det A^{-1}=1}\), skąd \(\displaystyle{ \det A^{-1}=\frac{1}{\det A}}\).