Wymiar i przykład bazy przestrzeni liniowej

[fragoly]

Wyznaczyć wymiar i podać przykład bazy przestrzeni liniowej dla:

\(\displaystyle{ V= \left\{ x, y, z, t\right\} \in R^{4} : 2(y^{2} + t^{2})= (y-t)^{2}}\)

Na chwilę obecną nie zdaję sesji z algebry i panicznie proszę o to jak rozwiązać to zadanie! Pozdrawiam!

[szw1710]

A czy w ogóle \(\displaystyle{ V}\) jest przestrzenią liniową?

[fragoly]

Jest, zadanie jest z egzaminu. Nie wiem jak rozwiązać dlatego wrzuciłam

[szw1710]

Czyli \(\displaystyle{ V}\) jest przestrzenią liniową, bo zadanie pojawiło się na egzaminie? Nowa metoda dowodzenia

Ale jest to przestrzeń liniowa. Zauważ, że zadany warunek jest równoważny równości \(\displaystyle{ t=-y}\). Tak więc mamy \(\displaystyle{ V=\{(x,y,z,-y):x,y,z\in\RR\}}\). Widać więc, że jest to przestrzeń trójwymiarowa. Spróbuj znaleźć bazę.

Tak jak \(\displaystyle{ (x,y,z,t)=x(1,0,0,0)+y(0,1,0,0)+z(0,0,1,0)+t(0,0,0,1)}\) można zapisać

\(\displaystyle{ (x,y,z,-y)=x(1,0,0,0)+y(0,1,0,-1)+z(0,0,1,0)}\).

Wykaż, że te trzy wektory są bazą \(\displaystyle{ V}\)

[fragoly]

To, że \(\displaystyle{ t=-y}\) to z równiania, rozumiem

A dalej biorę, że bazą jest

\(\displaystyle{ lin\left\{ (1,0,0,0),(0,1,0,-1),(0,0,1,0)\right\}}\)

A wymiarem \(\displaystyle{ dimV=3}\), bo wektory są liniowo niezależne.

Prawda?

[szw1710]

Tak. Ale jeszcze z tego co napisałem wynika, że rozpinają \(\displaystyle{ V}\).