wyznaczyć odwzorowanie liniowe

[adrian13]

Wyznaczyć odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}^{3}}\) takie, że:
\(\displaystyle{ f(1,2)=(1,2,3)}\)
\(\displaystyle{ f(2,1)=(1,3,2)}\)

Najpierw sprawdzam \(\displaystyle{ \begin{vmatrix}1&2\\2&1\end{vmatrix}\neq0}\), więc \(\displaystyle{ \{(1,2),(2,1)\}}\) jest bazą.
\(\displaystyle{ (x,y)=a(1,2)+b(2,1)}\)
Po rozwiązaniu wychodzi \(\displaystyle{ a= \frac{-x-2y}{3} \wedge b= \frac{2x-y}{3}}\)
Więc \(\displaystyle{ f(x,y)=f( \frac{-x-2y}{3}(1,2), \frac{2x-y}{3}(2,1) )}\)

Co dalej trzeba zrobić?

[szw1710]

W ostatniej linii źle piszesz: ma być \(\displaystyle{ +}\) zamiast przecinka. Wektor \(\displaystyle{ (x,y)}\) zastępujesz tą kombinacją liniową.

Skorzystać z liniowości: \(\displaystyle{ \dots=\frac{-x-2y}{2}f(1,2)+\dots=\frac{-x-2y}{2}(1,2,3)+\dots}\)

[adrian13]

Rozumiem, dzięki!-- 16 lut 2014, o 15:50 --Wychodzi \(\displaystyle{ f(x,y)=( \frac{x+y}{3}, \frac{4x+y}{3} , \frac{x+4y}{3} )}\).
Jest jeszcze pytanie o jądro, obraz, ich bazy i wymiary.

Jądro to wektory, które zerują odwzorowanie. \(\displaystyle{ Kerf={(0,0,0)}}\), \(\displaystyle{ Dimkerf=0}\) (równy 0, więc monomorfizm)
Obraz to wektory, które tworzą odwzorowanie. \(\displaystyle{ Imf={(1,2),(2,1)}}\), \(\displaystyle{ Dimimf=2}\) (różny wymiarowi przeciwdziedziny, więc nieepimorfizm)
Bazy są to wektory niezależne liniowo, czyli są takie same.

Czy to się zgadza?