Nie daje się odwrócić macierzy o niezerowym wyznaczniku

[Borneq]

Mam macierz \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
0 & 0 & -3 \\
4 & 5 & 3 \\
-5 & 1 & 3
\end{bmatrix}}\) Na podstawie strony można obliczyć wyznacznik. Podczas rozkładu LU metodą Doolittle pojawia się błąd; można przestawić wiersze i wyznacznik będzie taki sam, ale L*U to nie będzie już oryginalna A.Jak w takim razie obliczyć jej macierz odwrotną?

[rafalpw]

Można wyznaczyć ją standardowo, czyli dopisujesz po prawej stronie macierz jednostkową, wykonujesz operacje elementarne na wierszach macierzy rozszerzonej aż po lewej stronie będziesz miał macierz jednostkową. Wówczas macierz po prawej stronie będzie macierzą odwrotną do macierzy \(\displaystyle{ A}\) .

\(\displaystyle{ \left[ A | I\right] \rightarrow \left[ I | A^{-1}\right]}\) , gdzie "\(\displaystyle{ \rightarrow}\)" oznacza złożenie skończonej liczby operacji elementarnych na wierszach.

[Mariusz M]

Aby mieć macierz odwrotną do oryginalnej macierzy dokonaj permutacji kolumn macierzy
którą otrzymałeś z rozwiązania układów równań \(\displaystyle{ \left( LU\right)X=I}\)

[rtuszyns]

Również można skorzystać z zależności \(\displaystyle{ AA^{-1}=A^{-1}A=I}\), gdzie \(\displaystyle{ I}\) oznacza macierz jednostkową.
Jednakże można szybko wyznaczyć macierz odwrotną korzystając ze standardowego wzoru z minorami.