Nieoznaczony układ równań - metoda Gaussa

[l6q]

Hej,

Troszkę się pogubiłem z rozwiązywaniem układu równań nieoznaczonego.
Mam taki przykład:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 &2& -1 &3\\ 3& 1& -2& 4\\ -3& 4 &1 &1\end{bmatrix}}\)

Zeruje pierwszym wierszem i otrzymuje:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 &2& -1 &3\\ 0& -5& 1& -5\\ 0& 10 &-2 &10\end{bmatrix}}\)

Wiersz 2 i 3 są identyczne(symetryczne?) więc wykreślam jeden:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 &2& -1 &3\\ 0& -5& 1& -5 \end{bmatrix}}\)

I teraz etap, z którym walczę od wczoraj:
1. Czy mogę zamienić kolumnę 3 z 2? Jak zrobię tak to automatycznie x2 stanie się parametrem w tym układzie.
2. Czy raczej podzielić wiersz drugi przez 5?

Zależnie od tego w jaki sposób postąpię to rożne będę miał parametry w tym układzie a zarazem bazę przestrzeni rozwiązań.

Z tego co pamiętam to można zamieniać kolumny w metodzie Gaussa. Ale wtedy to wpływa na parametry i bazę? Możecie doradzić co powianiem zrobić dalej w tym układzie?

[leszczu450]

l6q, gdy otrzymujesz macierz \(\displaystyle{ 2 \times 4}\) to będzie parametr. Czwarty wiersz to wiersz wyrazów wolnych, tak? Zatem skorzystaj z metody Kroneckera Capellego. Metoda ta opisana na wikipedii mówi co zrobić krok po kroku gdy masz więcej niewiadomych niż równań liniowo niezależnych.

[l6q]

Kolumna wyrazów wolnych została pominięta bo były to same zera.

Pełna macierz to:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 &2& -1 &3 &0\\ 3& 1& -2& 4 &0\\ -3& 4 &1 &1&0\end{bmatrix}}\)

Rząd macierzy głównej = 2
Rząd macierzy uzupełnionej o kolumnę wyrazów wolnych = 2
Liczba niewiadomych = 4

Zatem, w układzie będą dwa parametry.

Pytanie tylko, które kolumny w będą parametrem? Tego nie potrafię zrozumieć więc poproszę o wytłumaczenie.

Zmierzając dalej: od tego zależy jaka będzie baza przestrzeni rozwiązań? Jak wybiorę kolumnę pierwszą i czwartą jako parametry to chyba wektory bazy będą inne niż gdybym wybral drugi i czwarty. Może mi ktoś to rozjaśnić bardziej?

Z góry dzięki.