Baza i obraz przekształcenia liniowego

[kozunio12]

Witam. Czy ktoś byłby w stanie sprawdzić rozwiązanie zadania?

\(\displaystyle{ L: R^{3} \rightarrow R ^{3} \\
L\left( x,y,z\right): \left ( x+2z,y+3z,2x-y+z\right)}\)


Wyszło mi:
\(\displaystyle{ kerL=lin\left( -2,-3,1\right) \\
imL=lin\left( 1,0,2\right)\left( 0,1,-1\right)}\)

Byłbym wdzięczny za ew. korektę błędów.

[lukequaint]

Wygląda w porządku.

Obraz:
\(\displaystyle{ \left( \begin{array}{c}
x+2z\\
y+3z\\
2x-y+z
\end{array} \right) = x\left( \begin{array}{c}
1\\
0\\
2
\end{array} \right) + y\left( \begin{array}{c}
0\\
1\\
-1
\end{array} \right) + z\left( \begin{array}{c}
2\\
3\\
1
\end{array} \right) \\= x\left( \begin{array}{c}
1\\
0\\
2
\end{array} \right) + y\left( \begin{array}{c}
0\\
1\\
-1
\end{array} \right) + z\left( 2\left( \begin{array}{c}
1\\
0\\
2
\end{array} \right)
+ 3\left( \begin{array}{c}
0\\
1\\
-1
\end{array} \right) \right) \\= (x+2z)\left( \begin{array}{c}
1\\
0\\
2
\end{array} \right) + (y+3z)\left( \begin{array}{c}
0\\
1\\
-1
\end{array} \right)}\)

Czyli \(\displaystyle{ lin\left( \left( \begin{array}{c}
1\\
0\\
2
\end{array} \right), \left( \begin{array}{c}
0\\
1\\
-1
\end{array} \right) \right)}\).

Jądro:
\(\displaystyle{ \left( \begin{array}{c}
x+2z\\
y+3z\\
2x-y+z
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
0\\
0\\
0
\end{array} \right) \Leftrightarrow \left( \begin{array}{c}
x\\
y\\
z
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
-2z\\
-3z\\
z
\end{array} \right) = z\left( \begin{array}{c}
-2\\
-3\\
1
\end{array} \right)}\)

Czyli \(\displaystyle{ lin\left( \left( \begin{array}{c}
-2\\
-3\\
1
\end{array} \right) \right)}\).

[Zini]

A co jeśli \(\displaystyle{ \ker=\{0\}}\)??
Jak wyznaczyć bazę i wymiar podprzestrzeni ker w takim przypadku??
Na przykład dla odwzorowania \(\displaystyle{ F(x,y,z)=(x+2y-z, 2x-2y-z, 3x+4y-2z)}\).

[lukequaint]

Analogicznie jak wyżej. Jądro będzie składało się jedynie z wektora zerowego i będzie miało wymiar \(\displaystyle{ 0}\).