Uzupełnienie bazy do przestrzeni...

[matkuz]

Witam,

Spośród wektorów \(\displaystyle{ v _{1}(-2,1,1), v_{2}(-1,0,1), v_{3}(-2,1,0), v_{4}(-1,1,1)}\) wybierz bazę przestrzeni wektorowej dla \(\displaystyle{ V = \left\{ (x,y,z) \in R ^{3} : x + 2y - z = 0 \right\}}\)

Następnie uzupełnij ją do bazy przestrzeni \(\displaystyle{ R ^{3}}\)

I teraz:
rozumiem, że w I części zadania wystarczy policzyć rząd macierzy i wynik - 3 będzie tworzył bazę tak? Nie patrze na V tak jakby ( interesuje mnie tylko to że jest \(\displaystyle{ R ^{3}}\) ) ?

Natomiast w drugim podkupcie nie mam pojęcia, jakiś pomysł? link do podobnego zadania?-- 10 lut 2014, o 10:23 --był błąd w przepisywaniu, teraz już jest OK

Ktoś ma jakiś pomysł ?

[przemokraw]

\(\displaystyle{ V}\) jest podprzestrzenią liniową \(\displaystyle{ R^3}\) wymiaru 2, bo równanie \(\displaystyle{ x+2y-z=0}\) opisuję pewną płaszczyznę w \(\displaystyle{ R^3}\). Zatem baza przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) będzie złożona z 2 wektorów. Jak je znaleźć? Wektory te muszą oczywiście należeć do \(\displaystyle{ V}\), zatem z podanych czterech musisz wybrać takie, które spełniają równanie \(\displaystyle{ x+2y-z=0}\). Poza tym, aby tworzyły one bazę, musisz jeszcze sprawdzić, czy są one liniowo niezależne.

Jeśli chodzi o drugą część: wiesz już, że wybrane przez Ciebie dwa wektory są bazą pewnej podprzestrzeni dwuwymiarowej. Aby uzupełnić ją do bazy \(\displaystyle{ R^3}\) musisz więc znaleźć jeszcze jeden wektor, który będzie liniowo niezależny do tych dwóch, które już masz.

[matkuz]

Dzięki !

Teraz mam pytanie, wyeliminowałem od razu wektor \(\displaystyle{ v_{1}}\) ponieważ nie pasuje do równania, policzyłem rząd macierzy z tych 3 wektorów, które pozostały = 2. Teraz skąd mam wiedzieć który wektor nie pasuje? Czy trzeba to liczyć inną metodą?

Co do drugiej części - rozumiem, że ten wektor może być dowolny - byle aby był on liniowo niezależny? Policzony np. z rzędu macierzy dla dowolnych współrzędnych \(\displaystyle{ a,b,c}\) ?-- 11 lut 2014, o 21:48 --ktoś coś?