Czy układy macierzy tworzą bazę przestrzeni.

[ginka26]

Witam,

mam podane takie układy macierzy i mam sprawdzić, czy tworzą one bazę w przestrzeni \(\displaystyle{ = 2}\)

a) \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0\\1&0\end{bmatrix} \ \begin{bmatrix} 1&0\\2&0\end{bmatrix} \ \begin{bmatrix} 0&1\\0&0\end{bmatrix} \ \begin{bmatrix} 0&1\\0&1\end{bmatrix}}\)

b) \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0\\1&1\end{bmatrix} \ \begin{bmatrix} 1&0\\1&0\end{bmatrix} \ \begin{bmatrix} 2&1\\0&0\end{bmatrix} \ \begin{bmatrix} 0&-1\\1&1\end{bmatrix}}\)

c) \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1\\1&0\end{bmatrix} \ \begin{bmatrix} 1&1\\0&1\end{bmatrix} \ \begin{bmatrix} 0&1\\1&1\end{bmatrix} \ \begin{bmatrix} 0&1\\1&1\end{bmatrix}}\)

Policzyłam rzędy każdej tej macierzy i tylko w podpunkcie c) wychodzi, że rząd każdej macierzy jest równy wymiarowi przestrzeni.
W a) wychodzi, że każdy jest równy 1,
W b) są różne - 2 rzędy = 2 i 2 rzędy = 1.

Czyli, że tylko w podpunkcie c) układy macierzy tworzą bazę w przestrzeni \(\displaystyle{ = 2}\)

Czy o taką odpowiedź chodzi w tym zadaniu?

[a4karo]

Rzędy tych macierzy nie maja tu znaczenia.
Przestrzen macierzy \(\displaystyle{ 2\times 2}\) jest czterowymiarowa. W każdym z przypadków masz sprawdzić, czy z warunku
\(\displaystyle{ \lambda_1A_1+\lambda_2A_2+\lambda_3A_3+\lambda_4A_4=\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}\) wynika, że \(\displaystyle{ \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=\lambda_4=0}\).

(rozumiem, że pisząc "przestrzeń \(\displaystyle{ =2}\)" masz na myśli przestrzeń \(\displaystyle{ M_2}\))

[ginka26]

Czyli rozumiem, że mam każdą macierz rozpisać w taki sposób(na przykładzie 1 macierzy):

\(\displaystyle{ 1 \cdot \begin{bmatrix} 1&0\\0&0\end{bmatrix} + 1 \cdot \begin{bmatrix} 0&0\\1&0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0&0\\0&0\end{bmatrix}}\)

i co dalej..?

[a4karo]

A wiesz jak pokazać liniową niezależnośc wektorów?

(nawiasem mówiąc, to co napisałąś powyżej jest nieprawdą)

[ginka26]

Wyznacznik z wektorów które zostały ustawione w macierz ma być różny od zera. Jeżeli jest różny od zera to wtedy wektory są liniowo niezależne.-- 9 lut 2014, o 19:31 --Czyli liczymy wyznaczniki każdych macierzy i jeśli wynosi on \(\displaystyle{ det = 0}\) to wtedy są to wektory liniowo zależne i nie tworzą one bazy \(\displaystyle{ M_{2 \times 2}}\). A jeśli \(\displaystyle{ det \neq 0}\) to wtedy są liniowo niezależne i tworzą bazę. Czy tak?
Wiem, że to co napisałam powyżej to bzdura.

[a4karo]

To pomyśl sobie, że zamiast macierzy \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\) masz wektor \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}a&b&c&d\end{bmatrix}}\)

[ginka26]

acha, czyli mam 4 wektory - wychodzi macierz \(\displaystyle{ 4 \times 4}\) i liczę wyznacznik? Jeżeli jest różny od zera to jest bazą(bo wektory są liniowo niezależne), a jeśli jest równy 0 to nie jest bazą?

[a4karo]

Tak

[ginka26]

Dziękuję bardzo za pomoc