Podprzestrzenie liniowe

[jackiee]

Niech \(\displaystyle{ U = (x_{1},x_{2}.x_{3}) \in R^{3} : x_{1}-3x_{2}+2x_{3} = 0 \wedge 2x_{1}-x_{2}-x_{3} = 0 }}\) Uzasadnić, że U jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni \(\displaystyle{ V = R^{3}}\) i określić jej wymiar. Znaleźć odwzorowanie, które jest rzutem prostokątnym dowolnego wektora v na podprzestrzeń \(\displaystyle{ U}\)

Moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ x_{1}-3x_{2}+2x_{3}= 2x_{1}-x_{2}-x_{3}\\
x_{1}=-2x_{2}+3x_{3}\\

u=(-2u_{2}+3u_{3},u_{2},u_{3})\\
v=(-2v_{2}+3v_{3},v_{2},v_{3})\\

au+bv=U\\
a(-2u_{2}+3u_{3},u_{2},u_{3})+b(-2v_{2}+3v_{3},v_{2},v_{3})=\\
(-2au_{2}+a3u_{3}-2bv_{2}+b3v_{3},au_{2}+bv_{2},au_{3}+bv_{3})=\\
(a+b)(-2u_{2}+3u_{3}-2v_{2}+3v_{3},u_{2}+v_{2},u_{3}+v_{3})=\\
(a+b)(x_{1},x_{2},x_{3}) \\
\\
dim(U)=2\\}\)
Podprzestrzeń ta jest płaszczyzną rozpiętą na wektorach \(\displaystyle{ [-2,1,0];[3,0,1]}\)
\
@EDIT
Co do drugiej części zadania(czy dobrze rozumuję)
Weźmy dowolny wektor w \(\displaystyle{ R_{3} v = (x,y,z)}\). Wektorami bazowymi podprzestrzeni U będą te 2 wektory, na których jest rozpięta płaszczyzna. Doprowadźmy je do postaci wersorów, czyli podzielmy przez ich długość i oznaczmy je e1 i e2. Czy odwzorowaniem tym będzie: \
\(\displaystyle{ v_{0} = v \circ e_{1} \cdot e_{1} + e_{2}\circ v \cdot e_{2}}\)

PS. Prosiłbym o dość szybką odpowiedź, gdyż poprawkowy z algebry tuż tuż ..

[Spektralny]

Mamy

• \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{lcl}x_1 &=& 3x_2 - 2x_3 \\ x_1 &=& \tfrac{1}{2}x_2 + \tfrac{1}{2}x_3. \end{array}\right.}\)

Stąd

• \(\displaystyle{ 0 = \tfrac{5}{2}x_2 - \tfrac{3}{2} x_3}\)

czyli

• \(\displaystyle{ x_3 = \tfrac{5}{3}x_2}\).

Ostatecznie,

• \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{lcl}x_1& =& x_1 \\ x_2 &=& x_2 \\ x_3 &= &\tfrac{5}{3}x_2. \end{array}\right.}\)

Odczytujemy więc, że bazą \(\displaystyle{ U}\) jest

• \(\displaystyle{ \{ \left[\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right], \left[\begin{array}{c}0\\1 \\ \tfrac{5}{3} \end{array} \right]\}}\)

Dokonaj ortogonalizacji tej bazy (prawie już gotowe!) i zastosuj wzór na rzut prostopadły.

[Adam27]

Dobry wieczór,
Czy ktoś może polecić materiały w Internecie, aby poczytać o bazie i podprzestrzeniach ?