Odwzorowanie liniowe - własności jądra.

[jackiee]

Zadanie 1.
\(\displaystyle{ V}\) i \(\displaystyle{ W}\)są przestrzeniami liniowymi, a \(\displaystyle{ F: V \rightarrow W}\) jest odwzorowaniem liniowym.
a) Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ dim(KerF) = 1}\) to odwzorowanie nie jest różnowartościowe
b) Podaj jądro odwzorowania \(\displaystyle{ F: R^{3} \rightarrow R^{3}}\)będącego rzutem ortogonalnym na płaszczyznę \(\displaystyle{ x-3y+2z = 0}\)

[yorgin]

a) Skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ F}\) jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \ker F=\{0\}}\)

b) Jądro wyznacza prosta prostopadła do danej płaszczyzny przechodząca przez środek układu współrzędnych.

[jackiee]

Ad b)
czyli\(\displaystyle{ KerF=Lin \left\{ [1,-3,2]\right\}}\)

Ad a)
Żeby odwzorowanie było różnowartościowe to musi spełniać taki warunek:
\(\displaystyle{ f(a)=f(b) \Rightarrow a=b}\)

więc weźmy
\(\displaystyle{ f(a) = f(b)}\) to \(\displaystyle{ f(a-b) = f(a) - f(b) = 0}\), więc \(\displaystyle{ f(a) - f(b)}\) należy do \(\displaystyle{ KerF}\), ale \(\displaystyle{ a = b}\) byłoby wtedy kiedy \(\displaystyle{ KerF = 0}\), czyli \(\displaystyle{ dim(kerF) = 0,}\) a mamy \(\displaystyle{ dim(kerF) = 1}\) czyli sprzeczność.
tak jest dobrze?

[yorgin]

Trochę nieporządnie.

Skoro \(\displaystyle{ f(a)=f(b)}\), to \(\displaystyle{ f(a-b)=0}\) czyli \(\displaystyle{ a-b\in \ker f}\). Jeżeli \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowe, to musi być \(\displaystyle{ a=b}\), czyli \(\displaystyle{ \ker f=\{0\}}\) i ma wymiar zerowy, co jest sprzeczne.

[jackiee]

Dzięki śliczne!