Wyznaczenie jądra, obrazu i wartości własnych endomorfizmu

[czmiel24]

Witam mam problem z takim zadaniem:
Na rzeczywistej przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ V :}\)
\(\displaystyle{ V = span \left\{ \sin x, \cos x, x \sin x, x \cos x\right\}}\)
określono odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ L : f \rightarrow f + f'}\). Wyznacz \(\displaystyle{ ker L, Im L}\) oraz sprawdź, czy jest to endomorfizm na \(\displaystyle{ V}\) ; w przypadku pozytywnej odpowiedzi wyznacz również jego rzeczywiste wartości własne.

Jeśli chodzi o to czy jest to endomorfizm, to zrobiłem to tak:
\(\displaystyle{ u \in V, w \in V, a \in R, b \in R.
u = \left\{ \sin x_{1} , \cos x_{1}, x_{1} \sin x_{1}, x_{1} \cos x_{1}\right\}
w = \left\{ \sin x_{2}, \cos x_{2}, x_{2} \sin x_{2}, x_{2} \cos x_{2}\right\}

L(au + bw) = (a \sin x_{1} + b\sin x_{2}, a \cos x_{1} + b\cos x_{2}, ax_{1} \sin x_{1} + bx_{2} \sin x_{2}, ax_{1} \cos x_{1} + bx_{2} \cos x_{2}) = a(\cos x_{1}, -\sin x_{1}, \sin x_{1} + x_{1}\cos x_{1}, \cos x_{1} - x_{1}\sin x_{1}) + b(\cos x_{2}, -\sin x_{2}, \sin x_{2} + x_{2}\cos x_{2}, \cos x_{2} - x_{2}\sin x_{2}) = aL(u) +bL(w)}\)

Jednak nie wiem czy dobrze to zrobiłem. Jeśli chodzi o jądro to mam wyznaczyć dla jakich x przekształcenie jest równe 0, i wstawić je do równania \(\displaystyle{ V = span \left\{ \sin x, \cos x, x \sin x, x \cos x\right\}}\) ? Bardzo proszę o sprawdzanie przekształcenia, i pomoc w dalszej części zadania.