Robię egzaminy z poprzednich lat i jest parę rzeczy, których nie jestem pewien. (sorry, że różne zadania z różnych działów, ale nie ma sensu zakładać miliona tematów, gdyż są to dość trywialne rzeczy jak sądzę)
1. Jeśli przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ \varphi: \RR^3 \rightarrow \RR^4}\) jest różnowartościowe, to jest "na". - wg mnie odpowiedź to NIE, ale ciężko mi tu podać jakiś kontrprzykład
2. Dla dowolnych \(\displaystyle{ A,B \in 2^{\RR}}\) zachodzi warunek \(\displaystyle{ A' \subseteq B' \Rightarrow \forall x \in \RR \left( x \in B \Rightarrow x \in A \right)}\). chyba TAK
3. Niech \(\displaystyle{ A \in M_{2 \times 2}\left( \RR\right)}\) oraz \(\displaystyle{ \chi _{A}(\lambda)=\lambda ^2 + 8 \lambda}\). Wówczas:
1) \(\displaystyle{ \imbox{det}(A+2I)=-12}\)
2) \(\displaystyle{ A}\) jest odwracalna
3) \(\displaystyle{ A}\) jest diagonalizowalna
Tutaj nie mam pojęcia.
4. \(\displaystyle{ \RR \cap \RR^2 =}\) no i wydaje mi się, że to będzie zbiór pusty, ale nie jestem pewien
5. Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f: \CC \rightarrow \CC, f(z)=z^3}\). Czy \(\displaystyle{ f^{-1}(\RR)=\RR}\). Chyba tu będzie NIE..
6. Niech \(\displaystyle{ \varphi: V \rightarrow W}\) będzie przekształceniem liniowym. \(\displaystyle{ V,W}\) - przestrzenie skończenie wymiarowe.
1) Jeśli \(\displaystyle{ \imbox{dim}V<\imbox{dim}W}\), to \(\displaystyle{ \varphi}\) jest nieosobliwe. raczej N
2) Jeśli \(\displaystyle{ \imbox{dimKer}\varphi < \imbox{dim}V}\) to \(\displaystyle{ r(\varphi) >0}\) nie wiem
3) Jeśli \(\displaystyle{ \varphi}\) jest izomorfizmem, to \(\displaystyle{ \imbox{dim}V=\imbox{dim}W}\) nie wiem