Znaleźć punkty przecięcia.

[Mefimess]

Witam. Przygotowuję się do egzaminu z algebry liniowej i trafiłem na takie zadanie.

Znaleźć punkty przecięcia:

a) prostych : L1: \(\displaystyle{ \begin{cases} x + 2y - z + 4 = 0\\y + z - 3 = 0\end{cases}}\)
L2 : \(\displaystyle{ \begin{cases} 2x - y - 2z + 8 = 0\\x + 2y + 2z - 5 = 0\end{cases}}\)

b) prostej l: \(\displaystyle{ \frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{3} = \frac{z-5}{2}}\) i płaszczyzny : \(\displaystyle{ \begin{cases} x = s+t\\y = 1 + s + 2t\\ z = -1 + 2s + t\end{cases}}\)


Podpunkt a) zrobiłem w ten sposób, że dodałem stronami jedną prostą, drugą prostą i wyliczyłem z tego "x" i "y" i "z" tylko nie wiem czy w ten sposób mogę to robić ?

Podpunkt b) zrobiłem w ten sposób, że:
1) z prostej wyliczyłem \(\displaystyle{ P0 (1, -2, 5)}\) i wektor \(\displaystyle{ \vec{v} = [1, 3, 2]}\).
2) z płaszczyzny wyznaczyłem \(\displaystyle{ P1 (0, 1, -1)}\) oraz wektory równoległe do płaszczyzny \(\displaystyle{ \vec{u} = [1, 1, 2]}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{w}= [1, 2, 1]}\) .
3) przemnożyłem wektorowo \(\displaystyle{ \vec{u} \times \vec{w}}\) i otrzymałem prostopadły wektor \(\displaystyle{ \vec{n}}\)
4) za pomocą \(\displaystyle{ \vec{n}}\) oraz punktu \(\displaystyle{ P1}\) wyznaczyłem równanie ogólne płaszczyzny \(\displaystyle{ (y-z = 0)}\)
5) punkt przecięcia się płaszczyzny z prostą oznaczyłem jako \(\displaystyle{ P`}\) ze współrzędnymi parametrycznymi prostej \(\displaystyle{ P`(t+1, 3t-2, 2t+5)}\)
6) podstawiłem ten punkt \(\displaystyle{ P`}\) to równania ogólnego płaszczyzny i wyliczyłem "t"
7) podstawiłem 't' do wzoru na \(\displaystyle{ P`}\).

Czy może mi ktoś powiedzieć czy dobrze to rozwiązałem ? Chodzi mi najbardziej o podpunkt b) i punkt 3) bo nie wiem kiedy mam wektorowo mnożyć \(\displaystyle{ \vec{u}\times\vec{w}}\) a kiedy \(\displaystyle{ \vec{w}\times \vec{u}}\), bo to jest różnica.

Pozdrawiam i dziękuję za odpowiedzi !

[chris_f]

W podpunkcie b) strasznie sobie skomplikowałeś życie. Prostą wystarczy zapisać jako układ dwóch równań
\(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{3}\\ \frac{x-1}{1}=\frac{z-5}{2}\end{cases}}\)
i podstawić za \(\displaystyle{ x,y,z}\) warunki z równania płaszczyzny. Dostaniesz układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi, wyliczasz \(\displaystyle{ s,t}\) i podstawiasz do równania płaszczyzny dostając szukany punkt.

[Mefimess]

dziękuję