Mam taką macierz:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & a & { a }^{ 2 } & { a }^{ 3 } \\ 1 & b & { b }^{ 2 } & { b }^{ 3 } \\ 1 & c & c^{ 2 } & c^{ 3 } \\ 1 & d & d^{ 2 } & { d }^{ 3 } \end{bmatrix}}\)
Mam obliczyć jej wyznacznik. Czy jest z tym coś do zrobienia poza rozpisaniem rozwinięcia Laplace'a?
Wyznacznik macierzy
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Wyznacznik macierzy
Można też poszukać pod hasłem: macierz Vandermonde'a.
Albo potraktować wyznacznik jako wielomian zmiennej \(\displaystyle{ a}\) i zauważyć, że zeruje się dla \(\displaystyle{ a=b,a=c,a=d}\), stąd musi być podzielny przez \(\displaystyle{ (a-b)(a-c)(a-d)}\). Analogicznie musi też być podzielny przez \(\displaystyle{ (b-c)(b-d)(c-d)}\), a biorąc pod uwagę, że jest wielomianem trzeciego stopnia każdej ze zmiennych \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) - musi być postaci:
\(\displaystyle{ k(a-b)(b-c)(c-d)(a-c)(b-d)(a-d)}\)
dla pewnego \(\displaystyle{ k}\) rzeczywistego. Pozostaje zatem tylko znaleźć to \(\displaystyle{ k}\) - to zaś prosto zrobić na przykład kładąc \(\displaystyle{ a=0}\), a potem manipulując wyznacznikiem który zostanie.
Q.
Albo potraktować wyznacznik jako wielomian zmiennej \(\displaystyle{ a}\) i zauważyć, że zeruje się dla \(\displaystyle{ a=b,a=c,a=d}\), stąd musi być podzielny przez \(\displaystyle{ (a-b)(a-c)(a-d)}\). Analogicznie musi też być podzielny przez \(\displaystyle{ (b-c)(b-d)(c-d)}\), a biorąc pod uwagę, że jest wielomianem trzeciego stopnia każdej ze zmiennych \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) - musi być postaci:
\(\displaystyle{ k(a-b)(b-c)(c-d)(a-c)(b-d)(a-d)}\)
dla pewnego \(\displaystyle{ k}\) rzeczywistego. Pozostaje zatem tylko znaleźć to \(\displaystyle{ k}\) - to zaś prosto zrobić na przykład kładąc \(\displaystyle{ a=0}\), a potem manipulując wyznacznikiem który zostanie.
Q.